Ideal Umkehrabbildung Homomorphismus

Question

Aufgabe:

Sei \( \varphi : R \to S \) ein Ringhomomorphismus und \( I \subseteq S \) ein Ideal \(\Rightarrow \varphi^{-1}(I)\) ist Ideal von \(R\)

Problem/Ansatz:

Sei \(a \in R\) sodass \(\varphi(a) \in I \) bzw. \( a \in \varphi^{-1}(I) \).

\(\Rightarrow \forall r \in R : \varphi(r) \varphi(a) \in I \Rightarrow \varphi(ra) \in I \Rightarrow ra \in \varphi^{-1}(I)\).

Es bleibt zu bemerken, dass \(a\) existiert, da \(I \neq \emptyset \).

Ist dieser Beweis richtig geführt oder habe ich etwas entscheidendes vergessen?

Comments

Hallo,

- wie steht es mit der Abgeschlossenheit der Addition in \(\phi^{-1}(I)\)?

- wieso ist \(\phi^{-1}(I)\) nicht leer?

Gruß Mathhilf

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Stimmt, danke:D

Also dem was ich geschrieben habe sei noch vorangestellt:

Nicht leer, da 0 auf 0 abgebildet wird

Zz. \((\varphi^{-1}, +) \leq (R, +)\)

Seien \( a, b \in R | \varphi(a), \varphi(b) \in I \).

Nun mit der Eigenschaft der Homomorphismen:

\( \varphi(a) + \varphi(b)^{-1} \in I \Leftrightarrow \varphi(a) + \varphi(b^{-1}) \in I \Leftrightarrow \varphi(a + b^{-1}) \in I \Rightarrow a + b^{-1} \in \varphi^{-1}(I) \)

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Warum schreibst du \(b^{-1}\), wenn es um die Summe geht? Meintest du \(-b\)?

Gruß Mathhilf

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Ja, eigentlich ist es -b, wie es für die Addition halt als Inverses definiert ist..Ich schreibe es in dem Fall so, da ich mich so streng an die Schreibweise aus meinen LA1 Vorlesungen halten wollte mit \(a \circ b^{-1} \in G\)