Zwei Funktionen mit Hilfe der Kettenregel ableiten?

Question

Aufgabe:

e) \( f(x)=\ln \left(\frac{1}{x} \cdot x^{2}+1\right) \)
h) \( f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie kann man diese zwei Funktionen mit Hilfe der Kettenregel ableiten? Bzw. was ist die äußere und welche die innere Funktion?

:)

Answer 1

Hallo,

Aufgabe h)

Wie kann man die Funktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten ?(wenn die Aufgabe so lautet),

es geht aber auch ohne Kettenregel.

y=f(x)=ln(1/x)    z=1/x (innere Funktion)

y= ln(z) (äußere Funktion)

dy/dz= 1/z    ;dz/dx= -1/x^2

->

y' =f'(x)=  1/z * (-1)/x^2

y' = x *(-1)/x^2 = -1/x

-------------------------

ohne Kettenregel:

y=f(x)=ln(1/x) = ln(1) -ln(x)= 0 -ln(x)= -ln(x) =-1/x

Answer 2

Text erkannt:

\( f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}\right) \)
äußere Funktion ableiten : \( \left(\frac{1}{\frac{1}{x}}\right) \)
innere Funktion ist \( \frac{1}{x} \) abgeleitet: \( -\frac{1}{x^{2}} \)
\( f \cdot(x)=\left(\frac{1}{\frac{1}{x}}\right) \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=x \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{x} \)
(Bei deiner 1.Funktion stimmt etwas nicht)

Answer 3

Hi.

Das ist die Kettenregel:

\( f(x)=g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x) \)

Deine innere Funktion ist h(x) = \( \frac{1}{x} \)

Deine äußere Funktion ist g(x) = ln(x)

Jetzt beide Funktionen einmal ableiten:

h´(x) = \( \frac{-1}{x^{2}} \)

g´(x) = \( \frac{1}{x} \)

Jetzt setzt du h(x) in g´(x) ein → g´(h(x))

Also hast du \( \frac{1}{\frac{1}{x}} \)

Das ganze [also g´(h(x)) ] rechnest du jetzt mal h´(x)

Also hast du f´(x) =  \( \frac{1}{\frac{1}{x}} * \frac{-1}{x^{2}} \)

Jetzt kannst du das noch vereinfachen:

f´(x) =  \( \frac{1}{\frac{1}{x}} * \frac{-1}{x^{2}} =  \frac{x}{1} * \frac{-1}{x^{2}} = \frac{-x}{x^{2}} =  \frac{-1}{x} \)

Answer 4

Aloha :)

Fehlt bei der (e) vielleicht eine Klammer um \((x^2+1)\)? Nunja, ich zeige einfach beide Varianten, damit du mit der Kettenregel ein wenig vertrauter wirst.

e1) Im ersten Fall ist die innere Funktion beim Ableiten gleich \((x+1)\):$$f'(x)=\left(\ln\left(\frac{1}{x}\cdot x^2+1\right)\right)'=\left(\ln\left(x+1\right)\right)'=\underbrace{\frac{1}{x+1}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(x+1)'}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{x+1}\cdot1=\frac{1}{1+x}$$

e2) Gleich erkennst du die innere Funktion \(\frac{x^2+1}{x}\):

$$f'(x)=\left(\ln\left(\frac{1}{x}\cdot(x^2+1)\right)\right)'=\left(\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right)'=\underbrace{\frac{1}{\frac{x^2+1}{x}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)'}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{x}{x^2+1}\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)'=\frac{x}{x^2+1}\cdot\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{x}{x^2+1}\cdot\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^3+x}$$

h) Hier kannst du die Kettenregel mit der inneren Funktion \(\frac{1}{x}\) ebenso verwenden:

$$f'(x)=\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)'=\underbrace{\frac{1}{\frac{1}{x}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(\frac{1}{x}\right)'}_{=\text{innere}}=x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{1}{x}$$

Du könntest die Ableitung auch sehr schnell mit Hilfe der Logarithmengesetze finden:$$f(x)=\ln\left(\frac{1}{x}\right)=\ln(1)-\ln(x)=-\ln(x)\quad\implies\quad f'(x)=-\frac{1}{x}$$