Zeigen oder widerlegen Sie, ob die folgenden Äquivalenzen gelten.

Question

Gegeben seien aussagenlogische Variablen \( a, b, c \).
(a) Zeigen oder widerlegen Sie, ob die folgenden Äquivalenzen gelten.
(i) \( (a \wedge b) \vee c \equiv(b \vee c) \wedge(c \vee a) \)
\( \text { (ii) } a \rightarrow(b \rightarrow c) \equiv(a \rightarrow b) \rightarrow c \)
(iii) \( a \wedge(a \vee b) \equiv a \vee b \)
(iv) \( a \rightarrow b \equiv \neg a \vee b \)
\( (\mathrm{v}) \neg(a \wedge b) \equiv \neg a \vee \neg b \)
(b) Geben Sie eine zu \( a \leftrightarrow b \) äquivalente Formel an, welche nur aus den Variablen \( a \) und \( b \), den Operatoren \( \neg \) und \( \wedge \), sowie Klammern (,) besteht. Geben Sie hierbei relevante Umformungen in einzelnen Zwischenschritten an:
\( a \leftrightarrow b \equiv(a \rightarrow b) \wedge(b \rightarrow a) \equiv \ldots \)

Comments

Hallo

mit Wahrheitstafeln für die linke und rechte Seite kannst du leicht prüfen, und zeigen.

Gruß lul

Answer 1

Hallo,

(i)    wahr    , wende links das Distributivgesetz für ∨  und rechts das Kommutativgesetz              für ∧ an.

(ii)   falsch   , Gegenbeispiel a=b=0 und c = 1

(iii)  falsch    , Gegenbeispiel a=0 und b=1

(iv)  wahr      , Definition von →

(v)   wahr      , de Morgan

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a ↔ b ≡ (a → b) ∧ (b→a) ≡ (¬a ∨ b) ∧ (b ∨ ¬a)        [ Definition ↔  bzw → ]

  ≡  ¬(a ∧ ¬b) ∧ ¬(¬b ∧ a)         [ de Morgan ] 

Gruß Wolfgang