Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Funktionen \mathrm{g}_{1} und \mathrm{g}_{2} aus Aufgabe 2 und …

Question

Aufgabe:

2. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen \( \mathrm{g}_{1} \) bis \( \mathrm{g}_{4} \) in ein Koordinatensystem.

Wählen Sie als Zeichenbereich \( -5 \leq y \leq 5 \) und \( -5 \leq x \leq 5 \)

a) \( g_{1}: \quad y=2 x-3 \)

b) \( g_{2}: \quad y=-\frac{1}{2} x+4 \)

c) \( g_{3}: \quad y=\frac{9}{10} x-2 \)

d) \( g_{4}: \quad y=-2 x-8 \)

Hinweis zu d):Jeder Punkt einer Geraden kann als Ausgangspunkt für ein Steigungsdreieck dienen!

3. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Funktionen \( \mathrm{g}_{1} \) und \( \mathrm{g}_{2} \) aus Aufgabe 2 und markieren Sie ihn in ihrer Zeichnung!

4. Bestimmen Sie die Nullstelle von \( \mathrm{g}_{2} \) !

5. Zeigen Sie durch Rechnung, dass \( \mathrm{P}(5 \mid 2,5) \) auf \( \mathrm{g}_{3} \) liegt, \( \mathrm{Q}(1 \mid 3) \) aber nicht auf \( \mathrm{g}_{2} \) !

Problem/Ansatz: leider bekomme ich es schon seit Tagen nicht hin. Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

Vielen Dank schonmal.

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

zu 3.) wenn zwei Geraden sich schneiden so haben sie in diesem Schnittpunkt zwangsläufig die identische \(x\)- und \(y\)-Koordinate. Lauten Ihre Funktionen$$g_{1}: \quad y=2 x-3  \\ g_{2}: \quad y=-\frac{1}{2} x+4$$so ist der \(y\)-Wert im Schnittpunkt \((x_s|\,y_s)\) gleich, also muss gelten$$2 x_s-3 = -\frac{1}{2} x_s+4$$und das kann man nach \(x_s\) auflösen$$\begin{aligned}2 x_s-3 &= -\frac{1}{2} x_s+4 &&|\, + \frac 12 x_s + 3 \\ \frac 52x_s &= 7 &&|\, \cdot \frac 25 \\ x_s &= \frac{14}{5} = 2,8\end{aligned}$$Für das \(y_s\) setze diesen Wert in eine der beiden Funktionen ein \(y_s = 13/5 = 2,6\).

In der Zeichnung sieht das so aus:

~plot~ 2x-3;-x/2+4;[[-5|5|-2|4.5]];{14/5|13/5} ~plot~

zu 4.) Eine Nullstelle ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der X-Achse. Dort ist das \(y\) gleich 0. Also setzt man in der Funktion das \(y\) zu 0 und berechnet das \(x_n\) der Nullstelle:$$\begin{aligned} g_{2}: \quad\quad 0&=-\frac{1}{2} x_n+4 &&|\, + \frac12 x_n \\ \frac 12 x_n &= 4 &&|\,\cdot 2 \\ x_n &= 8 \end{aligned}$$Die Nullstelle liegt also bei \(x_n=8\)

~plot~ ;-x/2+4;[[-1|9|-2|4.5]];{8|0} ~plot~

der Rest sollte kein Problem sein. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Answer 2

\( g_{1}: y=2 x-3 \) 

f(x)=   2 x - 3

f(0)=  0- 3=-3      Punkt A (0|-3)        Punkt B eine Einheit nach rechts  B(1|-3)

Da die Steigung m=2 ist    zu  Punkt  C nun  2 Einheiten nach oben C(1|-1)   Fertig ist das Steigungsdreieck.

Die Gerade geht nun durch A und C  (Denke an die Begrenzungen)

Answer 3

Hallo,

du brauchst für jede Gerade zwei (oder mehr) Punkte. Setz z.B. x=0 ein und berechne y. Dann nimmst du noch x=1 und x=2. Leider kommen dann manchmal etwas kompliziertere Zahlen raus. Dann sehen wir weiter.

a) \( g_{1}: \quad y=2 x-3 \)

x	0	1	2
y	-3	-1	1

Das sieht gut aus.

b) \( g_{2}: \quad y=-\frac{1}{2} x+4 \)

x	0	1	2
y	4	4,5	5

Hier fällt auf, dass für x=1 eine Kommazahl herauskommt, weil vor dem x ein Bruch steht.

c) \( g_{3}: \quad y=\frac{9}{10} x-2 \)

x	0	1	2	5
y	-2	-1,1	-0,2	2,5

Hier sind die Punkte für x=0 und x=5 am einfachsten zu zeichnen. Das liegt daran, dass der Faktor vor x (die Steigung) als Nenner eine 10 hat und 5/10=0,5.

d) \( g_{4}: \quad y=-2 x-8 \)

x	0	1	2	-5	-4
y	-8	-10	-12	2	0

Hier liegen die ersten drei Werte außerhalb des Zeichenbereichs. Für x=-5 und x=-4 erhält man aber Punkte, die gut gezeichnet werden können.

:-)