Folge (xn)n€No sei rekursiv definiert durch x(n+1)=((xn)^2+2)/(2xn). Zeigen Sie:

Question

a) Die Folge xn ist durch Wurzel(2) nach unten beschränkt

b) xn fällt monoton

c) xn ist konvergent. Bestimmen Sie auch den Grenzwert

Answer 1

Sei \(x_0\in\mathbb R, x_0>0\) und \(x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+2}{2x_n}\) für \(n\geq0\).
(1) Man zeigt leicht per Induktion, dass für alle \(n\geq0\) gilt \(x_n>0.\)
(2) Für alle \(n\geq0\) gilt$$\begin{aligned}x_{n+1}^2-2&=\left(\frac{x_n^2+2}{2x_n}\right)^2-2=\frac{x_n^4+4x_n^2+4}{4x_n^2}-2=\frac{x_n^4-4x_n^2+4}{4x_n^2}\newline&=\left(\frac{x_n^2-2}{2x_n}\right)^2\geq0.\end{aligned}$$
Daraus folgt nach (1) \(x_{n+1}\geq\sqrt{2}\).
(3) Für alle \(n\geq1\) gilt nach (1) und (2)$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n^2+2}{2x_n}-x_n=\frac{2-x_n^2}{2x_n}\leq0.$$
Daraus folgt \(x_{n+1}\leq x_n\).
(4) Nach (2) und (3) ist die Folge \(\{x_n\}_{n\geq1}\) nach unten beschränkt und monoton fallend. Daraus folgt Konvergenz.
(5) Den Grenzwert \(c\) berechnet man nun leicht aus \(c=\dfrac{c^2+2}{2c}\).