Question

Widerlegen Sie (jeweils durch ein Gegenbeispiel) folgende Behauptungen über Häufungspunkte reellwertiger Folgen:

a) Hat die Folge (xn)n€N genau einen Häufungspunkt, dann ist dies der Grenzwert der Folge

b) Jede Folge xn hat höchstens endlich iele Häufungspunkte. (Vorschlag: Man kann z.B. eine Folge konstruieren, die jede natürliche Zahl als Häufungspunkt besitzt.)

Answer 1

a)

\(a_n=\begin{cases}n,\text{ falls n gerade} \\ 0,\text{ falls n ungerade}\end{cases}\) hat als einzigen Häufungspunkt \(a=0\), konvergiert aber nicht.

b)

\(b_n=n-\lfloor \sqrt{n}\rfloor ^2=0,1,2,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,5,6,0,...\) hat unendlich viele Häufungspunkte, jedes \(b\in\mathbb{N}_0\) ist ein Häufungspunkt. \(\lfloor \sqrt{n}\rfloor ^2\)  ist einfach die größte Quadratzahl, die kleiner oder gleich n ist.