Bestimmen Sie jeweils die Menge aller Häufungspunkte der gegebenen Folgen:

Question

AUFGABE

1) Bestimmen Sie jeweils die Menge aller Häufungspunkte der gegebenen Folgen:

(i) \( a_{n}=\left(\frac{1}{n+1}-1\right)^{n} \)
(ii) \( a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1+2^{-n} & \text { für } n=3 k, k \in \mathbb{N} \\ 2+\frac{n+1}{n} & \text { für } n=3 k+1, k \in \mathbb{N} \\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-2 n} & \text { für } n=3 k+2, k \in \mathbb{N} \text {. }\end{array}\right. \)

2) Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine beschränkte reelle Zahlenfolge. Zeigen Sie:
(i) \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\inf \left\{a_{k}: k \geq n\right\}\right) \),
(ii) \( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sup \left\{a_{k}: k \geq n\right\}\right) \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man diese Aufgaben berechnet. :(

Answer 1

zu (i)

$$ \left( \frac{1}{n+1} - 1 \right)^n = \left( -\frac{n}{n+1} \right)^n = (-1)^n \left(  1 + \frac{1}{n}  \right)^{-n} \to (-1)^n e^{-1} $$

Also sind die Häufungspunkte \( \frac{1}{e} \) und \( -\frac{1}{e} \)

Zu (ii)

Die Folge \( 1 + 2^{-n} \) konvergiert gegen \( 1 \)

Die Folge \( 2 + \frac{n+1}{n} \) konvergiert gegen \( 3 \)

Die Folge \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-2n} \)konvergiert gegen \( \frac{1}{e^2} \)

Damit sind die Häufungspunkte bei dieser Folge \( 1 \) , \( 3 \) und \( e^{-2} \)