Relationen und Untergruppen

Question

Beantworten Sie die folgenden Fragen:
a) Wie viele verschiedene Relationen gibt es auf der Menge \( \{1,2,3\} \) ?
b) Es sei \( (G, *) \) eine Gruppe mit \( |G|=7 \). Wie viele verschiedene Untergruppen besitzt \( G \) ?

Answer 1

a) Wie viele verschiedene Relationen gibt es auf der Menge \( \{1,2,3\} \) ?

Eine Relation auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(M\times M\). Das steht so in der Definition von Relation.

Auf \( \{1,2,3\} \) gibt es deshalb so viele Relationen wie es Teilmengen von \( \{1,2,3\}\times \{1,2,3\}  \) gibt.

b) Es sei \( (G, *) \) eine Gruppe mit \( |G|=7 \). Wie viele verschiedene Untergruppen besitzt \( G \) ?

Laut Satz von Lagrange gilt für jede Untergruppe \(U\) von \(G\), dass \(|U|\) ein Teiler von \(|G|\) ist.