Relationen und Untergruppen

Question

Beantworten Sie die folgenden Fragen:
a) Wie viele verschiedene Relationen gibt es auf der Menge $\{1,2,3\}$ ?
b) Es sei $(G, *)$ eine Gruppe mit $|G|=7$. Wie viele verschiedene Untergruppen besitzt $G$ ?

Answer 1

a) Wie viele verschiedene Relationen gibt es auf der Menge $\{1,2,3\}$ ?

Eine Relation auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge von $M\times M$. Das steht so in der Definition von Relation.

Auf $\{1,2,3\}$ gibt es deshalb so viele Relationen wie es Teilmengen von $\{1,2,3\}\times \{1,2,3\}$ gibt.

b) Es sei $(G, *)$ eine Gruppe mit $|G|=7$. Wie viele verschiedene Untergruppen besitzt $G$ ?

Laut Satz von Lagrange gilt für jede Untergruppe $U$ von $G$, dass $|U|$ ein Teiler von $|G|$ ist.