Dreiecksberechnung Vektoren berechnen

Question

Aufgabe:

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A(1;2;1), B(-1;2;3) und C (-5;2;7) sowie der Verktor

v=(2,-1,2) gegeben ( Vektor eig untereinader geschrieben)

1) Eine Gerade verläuft durch die Punkte A und B, eine Gerade h verläuft du den Punkt C und hat den Richtungsvektor v

a) Gebe die Gleichung für g und h an

b) g und h schneiden sich in einem Punkt S. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S

c) Zeige dass die Gerade g und h senkrecht zueinander sind

2) Die Gerade g jnd h spannen eine Ebene E auf

a) Geben sie für diese Ebene eine Gleichung un Parameterform an und bestimme die Gleichung dieser Ebene E in Koordinatenform

3) Die Punkte A,B und D(3;-1;2) sind die Eckpunkte der Grundfläche einer geraden dreiseitigen Pyramide mit der Spitze Q (4;1;6)

a) Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Grundfläche ABD Pyramide und die Größe des Innenwinkels Alpha am Eckpunkt A

b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Seite [AB]

c) Der Scherpunkt in Dreieck ABD hat die Koordinaten P_s(1;1;2) Zeige rechnerisch das der Punkt P_s zur Spitze Q den Abstand d=5 LE besitzt

Comments

Schwerpunkt  ( 3c)

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Erklärung zu Aufgabe 3 a und b

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Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S.

Stichworte: schnittpunkte,koordinaten,bestimmen

Aufgabe:

Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S.

g: x = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

h: x = \( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wird der Schnittpunkt mit einem Gleichungssytem gelöst?

Und wie macht man dass bzw. was sind die Schritte?

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Antwortversuch

Titel: Wie lautet die Parameterform?

Stichworte: parameterform,vektoren,ebene,ebenengleichung

Aufgabe:

Punkte:

A (1:2:1)

B (-1:2:3)

C (-5:2:7)

Die Geraden g und h spannen eine Ebene auf.

g: x = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

h: x =\( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix}\)

Geben Sie für diese Ebene eine Gleichung in Parameterform an und bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene E in Koordinatenform.

Problem/Ansatz:

Lautet die Parameterform:

E: x = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + λ * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \) + μ * \( \begin{pmatrix} -6\\0\\6 \end{pmatrix} \)

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Nö, ich würde die Richtungsvektoren beider Geraden nehmen.

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Schade. Hast du dasselbe jetzt nochmals unter einem andern Usernamen gefragt?

Wenn nicht, bitte zusammenarbeiten mit denen, die bereits an der gleichen Frage sitzen.

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Wie wird der Innenwinkel am Eckpunkt berechnet?

Answer 1

Hallo,

1) Eine Gerade verläuft durch die Punkte A und B

Weißt du nicht, wie man eine Geradegleichung aufstellt, wenn zwei Punkte gegeben sind?

eine Gerade h verläuft du den Punkt C und hat den Richtungsvektor v

Punkt und Richtungsvektor sind gegeben. Was bereitet dir an der Geradengleichung noch Schwierigkeiten?

b) g und h schneiden sich in einem Punkt S. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S

Setzte g = h und löse das Gleichungssystem

c) Zeige dass die Gerade g und h senkrecht zueinander sind

Zwei Geraden sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ist.

Gruß, Silvia

Comments

Das hab ich auch schon

Geht mehr um Aufgabe 3 c

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Den Abstand zwischen bei Punkten A und B kannst du mir folgender Formel berechnen:

\(d(A;B)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)

Du nimmst hier also die Koordinaten von S und Ps.

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Kann ich noch bei 3 a Hilfe bekommen

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Den Flächeninhalt eines Dreieck kannst du mit

Betrag des Kreuzprodukts : 2

berechnen.

Nimm also zum Beispiel AB und AD als Richtungsvektoren, bilde ihr Kreuzprodukt, dessen Betrag und teile das Ergebnis durch zwei.

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bei  Aufgabe 3a)?

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Ja, zu dem Teil der Aufgabe

Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Grundfläche ABD Pyramide

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und bei b) dann (x1+x2):2 (y1+y2):2 und (z1+z2):2 ?

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Den Mittelpunkt der Strecke AB berechnest du mit

\( \vec{OA} \) + 0,5·\( \vec{AB} \)

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Wie wird der Winkel berechnet?

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\(cos(\alpha)=\frac{|\vec{a}\circ\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

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ist a dann AB und b AD? Die RV

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Ja, so ist es.

Answer 2

a) hatte ich bereits beantwortet.

b) Gleichsetzen: \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \)+u·\( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \)+v·\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \).

Komponentengleichungen:

1-2u=-5+2v

2=2-v

1+2u=7+2v

Die ersten beiden Gleichungen haben die Lösungen u=3 und v=0.

u in g und v in h eingesetzt ergibt den gleichen Punkt (-5|2|7).

Answer 3

3. c)
P_SQ = Q - PS = [4, 1, 6] - [1, 1, 2] = [3, 0, 4]
|P_SQ| = |[3, 0, 4]| = √(3^2 + 0^2 + 4^2) = 5 LE

Comments

Wissen Sie auch wie Aufgabe 2 berechnet wird?

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Ja. Kannst du selber die Ebene in Parameterform aufstellen und auch schon das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden?

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Die Aufstellung der Parameterform kann ich nicht

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Die Aufstellung der Parameterform kann ich nicht

Hänge den Richtungsvektor der Geraden h einfach an die Parameterform der Geraden g an. Dann hast du die Ebenengleichung.

Die Ebene muss doch einfach beide Richtungsvektoren beinhalten.

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E: x= \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + u • \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \) + v •\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) so?

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Genau. übrigens ist es etwas unüblich als Parameter u und v zu nehmen. Die Buchstaben stehen üblicherweise für Vektoren. Aber natürlich ist man frei in der Wahl seiner Buchstaben.

Kannst du jetzt auch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bilden?

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Muss man dafür die RV nehmen?

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Ja. Weil wir den Normalenvektor der Ebene suchen und der steht zu beiden Richtungsvektoren senkrecht.

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Wie berechnet man den Winkel 3b)?

Answer 4

Antwortversuch und Fragestellung:

Titel: Sind die Geraden g und h richtig angegeben?

Stichworte: vektoren,geraden

Aufgabe:

In einem karthesischen  Koordinatensystem sind die Punkte A (1;2;1) B (-1;2;3) und C (-5;2;7) sowie der Vektor v                       \(\begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) gegeben.

Eine Gerade g verläuft durch die Punkte A & B, eine Gerade h verläuft durch den Punkt C und hat den Richtungsvektor v.

Geben Sie jeweils eine Gleichung der Geraden g und h an.

Problem/Ansatz:

Die Gerade g würde lauten:

g: v \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) + u * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

und die Gerade h

h: c \( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \) + v * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

Ist das so Richtig? Bzw. kann man bei der Geraden h den Ortsvektor c nennen?

Comments

Bitte die vorhandenen Antworten anschauen. Anscheinend warst du nicht zuerst mit dieser Aufgabe.

Answer 5

h ist richtig. g muss z.B. heißen:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \)+u·\( \begin{pmatrix} -2\\0\\2\end{pmatrix} \).

Es gibt viele weitere Möglichkeiten. Deine ist nicht darunter.

Answer 6

Hallo Celine,

Gerade g

g: \(\vec{x}= \textcolor{green}{\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}}\) + u * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

 für den Stützvektor vorn nimmt man am einfachsten den Ortsvektor von A ober B

und die Gerade h

h: \(\vec{x}= \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \) + v * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \)  ist richtig

Gruß Wolfgang

Answer 7

Ja, das sieht dann so aus:

1 - 2s = -5 + 3t

2         = 2 - t

1 + 2s = 7 + 2t

Answer 8

Da eine Geradengleichung alle Punkte auf einer Geraden beschreibt, und im Schnittpunkt beide Geraden sich schneiden, kann g = h gesetzt werden.

Löse das Gleichungssystem

1 - 2s = -5 + 2t

2 = 2 - t                        (das sollte sofort die Erkenntnis auslösen, dass t = 0)

1 + 2s = 7 + 2t

Comments

Kommt dann für s 3 heraus?

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Wenn man die Türe aufmacht, ja dann kommt es heraus.

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Und um den Schnittpunkt zu ermitteln muss man s und t in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen oder?

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Richtig. Oder in beide. Es ergibt aber denselben Schnittpunkt.

Answer 9

Hallo

ja, das GS ist g=h und due schreibst die einzelnen Komponenten hin. 1. Gl

mit x=(x,y,z)   für x Koordinate 1-2s=-5+2t

entsprechend für y und z Koordinate

lul