Aufgabe:
Eine Galilei-Transformation wird durch eine Drehmatrix \( R \), zwei Vektoren \( \vec{v} \) und \( \vec{b} \) und \( s \in \mathbb{R} \) parametrisiert, und wirkt auf \( \mathbb{R}^{4} \) mit Koordinaten \( (t, \vec{x}) \) als Abbildung
\( g_{R, \vec{v}, \vec{b}, s}(t, \vec{x})=(t+s, R \vec{x}+\vec{v} t+\vec{b}) \)
(a) Gegeben \( R_{1}, \vec{v}_{1}, \vec{b}_{1}, s_{1} \) und \( R_{2}, \vec{v}_{2}, \vec{b}_{2}, s_{2} \), bestimme \( R_{3}, \vec{v}_{3}, \vec{b}_{3}, s_{3} \) so, dass
\( g_{R_{1}, \vec{v}_{1}, \vec{b}_{1}, s_{1}} \circ g_{R_{2}, \vec{v}_{2}, \vec{b}_{2}, s_{2}}=g_{R_{3}, \vec{v}_{3}, \vec{b}_{3}, s_{3}} \)
(b) Was ist die zu \( g_{R, \vec{v}, \vec{b}, s} \) inverse Galilei-Transformation?
(c) Zeige, dass die Menge aller Galilei-Transformationen bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe bildet.
Problem/Ansatz:
Bei a) denke ich, dass es reichen würde, einfach das skalare Produklt auszurechnen und die einzelnen Abschnitte des Ergebnisses als R3, s3, ... zu deklarieren. Stimmt das?
b) Das habe ich schon gelöst, indem ich es einfach umgedreht habe. Beispielsweise wird aus x' = x-vt ein x=x'-vt' und y,z unt t' bleiben in der newtonschen Mechanik gleich.
c) Ich kenne die Axiome, die eine Gruppe definieren, nämlich die Existenz des neutralen und inversen Elements sowie die Assoziativität, aber wie wende ich das auf die Galilei-Transformation an?
