Bildet die Menge F zusammen mit der Verkettung von Funktionen eine Gruppe?

Question

es geht mir hier um die Menge F die alle reellen Polynomfunktionen enthält die den Grad 1 besitzen über den reellen Zahlen.

Aufgabe:

x → a₁ x + a₀ mit a₁ =/= 0.

Bildet die Menge F zusammen mit der Verkettung von Funktionen eine Gruppe?

Ich versteh nicht wirklich wie ich das aufzeigen/ erklären soll.

Gruß

Ancyx

Answer 1

Du hast eine Funktion \( f: x \mapsto ax+b \).

Die Verknüpfung von Funktion ist definiert als \( f \circ g = f(g(x)) \)

assoziativ:

\(  (f\circ g)\circ h \iff  ((ax+b)\circ (cx+d))\circ (ex+f) \) und

\(  f\circ (g\circ h) \iff  (ax+b)\circ ((cx+d)\circ (ex+f)) \)

links-neutral:

\( n_L \circ f = f \iff (mx+n)\circ (ax+b) = (ax+b) \)

rechts-neutral:

\( f\circ n_R = f \iff (ax+b)\circ (mx+n) = (ax+b) \)

links-invers:

\( (ix+j)\circ (ax+b) = n_L \)

rechts-invers:

\( (ax+b)\circ (ix+j) = n_R \)

kommutativ:

\( f \circ g \) und

\( g \circ f \)

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Anmerkungen:

Du setzt nicht x für x ein, sondern Du setzt g für x ein.

Die Kommutivität ist bei Gruppen nicht zwingend, aber geprüft werden sollte sie trotzdem.

Comments

Okay vielen dank! Das man extra auf links-neutral, rechts-neutral und links-/rechts invers prüfen muss, wusste ich nicht. Bei diesem Beispiel hat es ja nichts verändert, aber bei Permutationen z.B macht das ein Unterschied, wie ich grade bei einer anderen Aufgabe gemerkt habe ^^

Das mit der Assoziativität verstehe ich jetzt auch, ich hatte irgendwie so ein Denkfehler drinnen, dass man nicht die die verschiedenen Funktionen aus F assoziativ beweisen soll (was ja eig. Sinn der ganzen Aufgabe ist.) Ich wollte irgendwie die beweisen, dass man bei a(cx+d)+b die Klammern nicht vertauschen kann. Ich weiß auch nicht. Rückblickend waren meine Gedanken ganz falsch.

Ja, dass mit dem "x für x" war falsch gewählt von mir. Ich meinte das x aus g für x, aber dass muss ich mir abgewöhnen. ^^

Danke nochmal vielmals für die genaue Erklärung. Das hat wirklich geholfen!

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Nur der Vollständigkeit halber:

Gib mir mal die Rechnungen für die Assoziativität an.

Und gib mal alle Deine Ergebnisse an.

Answer 2

 Assoziativität  gilt ja immer bei Verkettung und

Abgeschlossenheit ax+b verkettet mit cx+d

gibt a(cx+d ) +b = acx + ad+b ist also wegen ac nicht 0 wieder

ein Polynom 1. Grades.

neutral ist 1*x + 0

und zu ax+b invers ist (1/a)x -b/a

Comments

Ah also hier wird nur verlangt, dass man beweist das alle Polynomfunktionen in F miteinander verknüpft eine Gruppe bilden? (in dem man wie du aufgezeigt hast, die vier Axiome: Neutrales Element, Inverses Element, Abgeschlossenheit und Assoziativität zeigt)?

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"Assoziativität gilt ja immer bei Verkettung"

Das wäre wirklich zu schön.

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Das habe ich mich auch gefragt. Muss man das nicht auch beweisen, weil es bei Verknüpfungen ja auf die Reihenfolge ankommt?

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Natürlich musst Du die Assoziativität beweisen. Da Du die Gruppe erst einmal beweisen sollst, musst Du korrekt auch links-Neutrales und rechts-Neutrales sowie links-Inverses und rechts-Inverses beweisen, ebenso wie die Kommutativität.

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Kommutativität ist doch aber optional im Sinne, dass wenn die Gruppe auch kommutativ ist, es sich um eine abelsche Gruppe handelt. Ich kenne das aber nur mit den 4 Gruppenaxiomen, assoziativ, invers, neutrales Element und Abgeschlossenheit.

Wie kann man hier die Assoziativität beweisen?

Das mit dem neutralen Element verstehe ich glaube ich:

Weil wenn man eine andere Funktion mit der am Anfang verkettet, dann setzt man x für x ein., weswegen es gleich bleibt.

Aber wie man auf (1/a)x -b/a kommt, verstehe ich nicht.

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Ich mache das jetzt als Antwort.