Eingeschlossene Fläche berechnen(Integral)

Question

Aufgabe:

a) y = x² - 5x + 4 ; y=0, x= 0, x= 6

b) y = -x² +4x +2 ; y= 2x-1

Besonders bei a) frage ich mich mit welchen Werten man denn die Fläche rausbekommt , da da nicht eindeutig y gegeben ist.

Bzw. wie errechnet man daraus y wie bei b(wenn es geht).

Wäre euch sehr dankbar , wenn ihr mir da weiterhelfen könntet. :)

Problem/Ansatz:

a) x²-5x+4 = 0

x_1/2 = -\( \frac{-5}{2} \) +- \( \sqrt{(-5/2)^2 -4} \) = 2,5 +- \( \sqrt{(-2,5)^2 -4} \) =2,5 +- \( \sqrt{2,25} \)

x_1/2 = 2,5 +- 1,5

$$\int \limits_{1}^{4}(x^{2}-5x+4)dx = [\frac{1}{3}x^{3}-2,5x^{2}+4x]$$

b)

y=y

y= -x2 + 4x +2 ; y= 2x-1

-x² + 4x + 2 = 2x - 1  |-2x | +1

-x² + 2x + 3 = 0  | *(-1)

x² - 2x -3 = 0

x_1/2 = -\( \frac{-2}{2} \)  +- \( \sqrt{(-2/2)^2 + 3} \)

x_1/2 = 1  +- \( \sqrt{(4} \)

x_1/2 = 1  +- 2

x₁ = 3 V x₂ = -1

$$\int \limits_{-1}^{3}(x^{2}-2x-3)dx = [\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x] $$

= (1/3 * 3³ - 3² - 3*3) - (1/3*(-1)³ - (-1)² -3*(-1))

= (9-18) - (-1/3 + 2) = (-9 + 1/3 -2) = (-11 + 1/3) = -10,66

Comments

Bei a) ist vermutlich folgendes zu berechnen:$$\int_0^1(x^2-5x+4)\,\mathrm dx-\int_1^4(x^2-5x+4)\,\mathrm dx+\int_4^6(x^2-5x+4)\,\mathrm dx.$$Das mittlere Integral wird subtrahiert, da der Graph der Funktion zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der x-Achse liegt.

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Danke.

Und bei b ist das nicht der Fall?

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b) scheint mir bis aufs Vorzeichen richtig zu sein.

Answer 1

Hallo,

Es soll bei a) die Fläche berechnet werden, die von diesen vier(!) Graphen eingeschlossen ist:$$1.)\quad y = x^{2} - 5x + 4 \\2.)\quad y=0\\3.)\quad x= 0\\4.)\quad x= 6$$\(x=0\) und \(y=0\) sind die Koordinatenachsen (Y- und X-Achse).

... da da nicht eindeutig y gegeben ist.

\(y=0\) siehe oben.

Im Plot sieht das so aus:

~plot~ x^2-5x+ 4;x=6;[[-2|8|-4|12]] ~plot~

Das sind drei (Teil-)Flächen. Und darum ist es richtig, die Nullstellen zu bestimmen, mit \(x_1=1\) und \(x_2=4\), und dann die Teilstücke einzeln zu integrieren.

$$\int \limits_a^b(x^{2}-5x+4)dx = \left[\frac{1}{3}x^{3}-2,5x^{2}+4x \right]_a^b$$

Das ist richtig. Setze einfach die Grenzen ein:$$F_1 = \int_0^1 f(x) = F(1)-F(0) = \frac{11}6 - 0 = \frac{11}6 \\ F_2 = \int_1^4 f(x) = F(4)-F(1) = - \frac 83 - \frac{11}6 = - \frac 92 \\ F_3 = \int_4^6 f(x)= F(6)-F(4) = 6 - \left( -\frac 83\right) = \frac{26}3$$Erwartungsgemäß ist das Mittelstück \(F_2\) kleiner 0. Jetzt addiere alle Beträge:$$F = |F_1| + |F_2| + |F_3| = 15$$

b) y = -x^{2} +4x +2 ; y= 2x-1

~plot~  -x^2+4x +2;2x-1;[[-3|7|-4|7]] ~plot~

Die Grenzen hast Du mit \(x_1=3\) und \(x_2=-1\) korrekt berechnet. Zu integrieren ist nun die Differenz. Das ist alles richtig. Du erhältst ein negatives Ergebnis, da Du die Gerade minus Parabel gerechnet hast. Ist aber ok. Die gesuchte Fläche ist der Betrag dieses Wertes.

Tipp: Nehme die Differenz in der Mitte \(|y_1(1)-y_2(1)|=4\) multipliziere das mit der Breite des Integrals - also \(3-(-1)=4\) - und davon 2/3 sind$$F = 4 \cdot 4 \cdot \frac 23 = \frac{32}{3} \approx 10,667$$geht immer wenn eine Parabel von einer Geraden geschnitten wird.