lineares Gleichungssystem Gauß-Verfahren

Question

Aufgabe:

(b) Geben Sie ein Gleichugssystem an, das den gegebenen Unterraum als Lösungsraum hat:
\( \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \\ -6 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\nu\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich hab das dann so aufgeschrieben:

\( x_{1}=4-2 \lambda+8 \mu \)
\( x_{2}=1-\lambda-4 \mu+v \)
\( x_{3}=\lambda \)
\( x_{4}=-6+3 \lambda-4 \mu+8 v \)
\( x_{5}=1+\mu \rightarrow x_{5}-1=\mu \)
\( x_{6}=1+v \rightarrow x_{6}-1=v \)

aber das kann ja nicht schon die Lösung gewesen sein, denk ich mir. Ich hab dann versucht in den Gleichungen lambda, mü und v durch x3, x5 und x6 zu ersetzen, als so dann für die erste Gleichung:

\( x_{1}+2 x_{3}-8 x_{5}=-4\)

aber da kommt absoluter Blödsinn heraus, wenn man das wieder versucht mithilfe des Gauß-Verfahrens zurückzurechnen.

Answer 1

Du solltest erstmal das homogene LGS betrachten, wenn Du zurückbaust

also von

\(\left(\begin{array}{r}-2 \; \lambda + 8 \; \mu = x1\\-\lambda - 4 \; \mu + \eta = x2\\\lambda = x3\\3 \; \lambda - 4 \; \mu + 8 \; \eta = x4\\\mu = x5\\\eta = x6\\\end{array}\right) \)

ausgehen

Comments

Dankeschön! Ich habe das jetzt so:

\(x_{1}+2x_{3}-8x_{5}=0 \)

\(x_{2}+x_{3}+x_{5}-x_{6}=0 \)

\(x_{4}-3x_{3}+4x_{5}-8x_{6}=0 \)

Wie kann ich jetzt fortfahren? bzw. die inhomogene Lösung inkludieren

---

Da hab ich was geringfügig abweichend (Tipp oder Rechenfehler?)

Jetzt vollständiges LGS aufschreiben

EDIT (verkopiert)

\(\scriptsize LGS \, :=  \, \left\{  -x1 - 2 \; x3 + 8 \; x5=0, -x2 - x3 - 4 \; x5 + x6=0, 3 \; x3 - x4 - 4 \; x5 + 8   \right\} \)

könnte man etwa so was draus machen

\(\scriptsize A_H \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}-1&0&-2&0&8&0\\0&-1&-1&0&-4&1\\0&0&3&-1&-4&8\\\end{array}\right)   \)

A_H {{4,1,0,-6,1,1}} = {{4}, {-4}, {10}}

 \(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrrrr}-1&0&-2&0&8&0\\0&-1&-1&0&-4&1\\0&0&3&-1&-4&8\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\x6\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}4\\-4\\10\\\end{array}\right) \)