Aloha :)
Weil \(f(x)=x^3\) ist, verschwindet bereits die vierte Ableitung und die gegebenen Summenformel endet nach \(k=3\). Daher vermute ich, soillen wir hier einfach nur einsetzen:
$$\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}=\sum\limits_{k=0}^\infty\binom{2n}{k}f^{(k)}(x)\cdot g^{(2n-k)}(x)$$
Die Ableitungen von \(f(x)=x^3\) sind:$$f^{(0)}(x)=x^3\quad;\quad f^{(1)}(x)=3x^2\quad;\quad f^{(2)}(x)=6x\quad;\quad f^{(3)}(x)=6$$
Die Ableitungen von \(g(x)=\cosh(x)\) erhalten wir aus der Beobachtung, dass$$\cosh'(x)=\sinh(x)\quad\text{ und }\quad\sinh'(x)=\cosh(x)$$Daher ist nämlich$$g^{(m)}(x)=\left\{\begin{array}{lll}\cosh(x)&\text{falls}& m\text{ gerade}\\\sinh(x)&\text{falls}& m\text{ ungerade}\end{array}\right.$$
Damit haben wir alles zusammen, um die Summe aufschreiben zu können:$$\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}=\binom{2n}{0}\cdot x^3\cdot\cosh(x)+\binom{2n}{1}\cdot 3x^2\cdot\sinh(x)$$$$\phantom{\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}}+\binom{2n}{2}\cdot 6x\cdot\cosh(x)+\binom{2n}{3}\cdot 6\cdot\sinh(x)$$$$\phantom{\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}}=1\cdot x^3\cdot\cosh(x)+2n\cdot 3x^2\cdot\sinh(x)$$$$\phantom{\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}}+\frac{2n}{2}\,\frac{2n-1}{1}\cdot 6x\cdot\cosh(x)+\frac{2n}{3}\,\frac{2n-1}{2}\,\frac{2n-2}{1}\cdot 6\cdot\sinh(x)$$$$\phantom{\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}}=x^3\cdot\cosh(x)+6nx^2\cdot\sinh(x)$$$$\phantom{\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}}+6n(2n-1)\cdot x\cdot\cosh(x)+2n(2n-1)(2n-2)\cdot\sinh(x)$$$$\phantom{\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}}=\left[x^3+6n(2n-1)x\right]\cosh(x)$$$$\phantom{\left(x^3\cdot\cosh(x)\right)^{(2n)}}+\left[6nx^2+4n(2n-1)(n-1)\right]\sinh(x)$$
