Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik

Question

1. Ein Losbudenbesitzer bietet folgendes Spiel an:

Der Kunde bezahlt einen Einsatz von € 1,50. Dann greift er einmal in eine Urne, in der 10 Kugeln liegen. Diese Kugeln haben die folgenden Farben: 5-mal weiß (w), 4-mal grau (g) und 1-mal schwarz (s).

Wenn der Kunde eine weiße Kugel greift, bekommt er nichts und hat seinen Einsatz verspielt. Zieht er eine graue Kugel, so erhält er von dem Losbudenbesitzer € 2,00, und darin ist der zurückerstattete Einsatz enthalten. Bei der schwarzen Kugel erhält der Kunde € 6,00, und auch darin ist der zurückerstattete Einsatz enthalten.

Berechne den durchschnittlichen Gewinn, den der Losbudenbesitzer auf die Dauer erzielt, und berechne die Varianz sowie Standardabweichung seiner Gewinne und Verluste. (Dabei wird ein Verlust als negativer Gewinn gezählt.)

2. In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit fünf kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig voneinander, d.h. sie beeinflussen einander nicht. Auf jedem einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet, und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:
• 0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
• zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
• viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen Riesen-Gewinn) erzielt.

Hallo Mathelounge Community!

Könnte wer mir bei diesen beiden Aufgaben helfen?

Thema: Wahrscheinlichkeitsrechnung & Kombinatorik

Answer 1

1) E(X)=0,5*(0-1,5)+0,4*(2-1,5)+0,1*(6-1,5)

zu 2)

Dass 2 von 5 Rädern das gleiche Symbol anzeigen, geht auf \(\binom 5 2 = 10\) Arten.

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Sonnen

\(P(X=2)=\binom 5 2 \cdot 0,22^2\cdot (1-0,22)^3\approx0,2297\)

Für die anderen Anzahlen entsprechend.

Comments

Hallo MonthyPython,

vielen Dank für deine Lösung!

Was bedeutet das E am Anfang?

VG

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Das ist der Erwartungswert, d.h. der mittlere Gewinn bzw. Verlust des Spielers.

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Oh, okay... :)

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Dankeschön! :))

Answer 2

1. Ein Losbudenbesitzer bietet folgendes Spiel an:

Der Kunde bezahlt einen Einsatz von € 1,50. Dann greift er einmal in eine Urne, in der 10 Kugeln liegen. Diese Kugeln haben die folgenden Farben: 5-mal weiß (w), 4-mal grau (g) und 1-mal schwarz (s).

Wenn der Kunde eine weiße Kugel greift, bekommt er nichts und hat seinen Einsatz verspielt. Zieht er eine graue Kugel, so erhält er von dem Losbudenbesitzer € 2,00, und darin ist der zurückerstattete Einsatz enthalten. Bei der schwarzen Kugel erhält der Kunde € 6,00, und auch darin ist der zurückerstattete Einsatz enthalten.

Berechne den durchschnittlichen Gewinn, den der Losbudenbesitzer auf die Dauer erzielt, und berechne die Varianz sowie Standardabweichung seiner Gewinne und Verluste. (Dabei wird ein Verlust als negativer Gewinn gezählt.)

E(X) = - 1.5·5/10 + 0.5·4/10 + 4.5·1/10 = -0.1

V(X) = (-1.5)^2·5/10 + 0.5^2·4/10 + 4.5^2·1/10 - (-0.1)^2 = 3.24

σ(X) = √3.24 = 1.8

Comments

2. In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit fünf kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig voneinander, d.h. sie beeinflussen einander nicht. Auf jedem einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet, und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:
• 0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
• zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
• viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen Riesen-Gewinn) erzielt.

P = COMB(5, 2)·0.22^2·(1 - 0.22)^(5 - 2) + COMB(5, 3)·0.22^3·(1 - 0.22)^(5 - 3) = 0.2945

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vielen Dank für deine Antwort.

Muss ich das ,,COMB‘‘ auch so aufschreiben?

VG

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COMB(n, k) ist der Binomialkoeffizient (n über k). Und so solltest du den auch aufschreiben.

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Stimmt! Hätte ich fast vergessen. :^)

Dankeschön!