Aloha :)
Wenn du eine Einheismatrix \(\mathbf 1\) einbaust, kannst du die Gleichung nach \(\mathbf B\) umstellen:
$$\mathbf A\mathbf X+2\mathbf X=\mathbf A\mathbf X+2\cdot\mathbf 1\cdot\mathbf X=\mathbf B\implies (\mathbf A+2\cdot\mathbf1)\mathbf X=\mathbf B\implies$$$$X=\mathbf (\mathbf A+2\cdot\mathbf 1)^{-1}\cdot\mathbf B$$
Wir bestimmen zunächst die Matrix in der Klammer:$$\left(\mathbf A+2\cdot\mathbf 1\right)=\left(\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\right)=\left(\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}3 & -1\\2 & 3\end{pmatrix}$$
Die inverse Matrix eine \(2\times2\)-Matrix bekommt man, indem man die Elemente auf der Hauptdiagonalen vertauscht, die Elemente auf der Nebendiagonalen negiert und das Ergebnis durch die Determinante der Matrix teilt:$$\left(\mathbf A+2\cdot\mathbf 1\right)^{-1}=\frac{1}{3\cdot3-2\cdot(-1)}\begin{pmatrix}3 & 1\\-2 & 3\end{pmatrix}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}3 & 1\\-2 & 3\end{pmatrix}$$
Damit ist nun:$$\mathbf B=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}3 & 1\\-2 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 2\\5 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}$$
