Zeigen Sie, dass keine der Zahlen a,durch 3 teilbar ist.

Question

Es seien \( a_{1}, \ldots, a_{k} \) natürliche Zahlen, so dass die Zahl \( a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{k}+1 \) durch 3 teilbar ist.
(a) Zeigen Sie, dass keine der Zahlen \( a_{1}, \ldots, a_{k} \) durch 3 teilbar ist.
(b) Zeigen Sie, dass mindestens eine der Zahlen \( a_{1}+1, \ldots, a_{k}+1 \) durch 3 teilbar ist.

Answer 1

Hallo :-)

Zu (a) kannst du zb einen Widerspruchsbeweis machen.

Bei (b) kannst du (a) verwenden, denn so kannst du sagen, dass für alle \(l\in \{1,...,k\}\) entweder \(a_l=3x_l+1\) oder \(a_l=3y_l+2\) gilt, wobei \(x_l,y_l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\).

Zeige, dass in dem Produkt \(a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_k\) mindestens ein Faktor die Gestalt \(a_l=3y_l+2\) hat, falls \(a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_k+1\) durch \(3\) teilbar ist. Dafür kannst du mal annehmen, dass alle Faktoren \(a_l\) nur die Gestalt \(3x_l+1\) haben, sodass folgende Gleichheit gilt:

\(\left(\prod\limits_{l=1}^k a_l \right)+1=\underbrace{\left(\prod\limits_{l=1}^k (3x_l+1) \right)}_{(*)}+1=3\cdot z\), für ein \(\quad z \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\). Betrachte hier insbesondere den Teil \((*)\)

-> https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Vieta#Verallgemeinerung