Wie beweise ich möglichst kurz und verständlich, dass keine Zehnerpotenz (10^n) durch 37 teilbar ist?

Question

Es wäre super ein wenig Hilfe dabei zu bekommen die folgende Gleichung zu zeigen:

10^n / 37  ≠ k  (für alle n,k aus den Natürlichen Zahlen und 0)

Sie macht einen sehr trivialen Eindruck, jedoch möchte ich gerne einen standfesten Beweis dafür finden.

Die Gleichung würde ich gerne auf eine möglichst einfache Art und Weise lösen. Eine mögliche Lösung besteht mithilfe der Teilbarkeitsregeln für die Zahl 37. Welche die Summe aller dreistelligen Zahlenblöcke einer Zahl betrachtet. Jedoch scheint mir die zusätzliche Herleitung dieser Regel ein wenig zu lang und umständlich. Ich frage mich, ob es nicht einen direkteren Weg gibt.

Comments

Nun, ich weiß nicht, wer meinen Kommentar von gestern mit einer Frage zur Quelle der Aufgabe gelöscht hat. Jedenfalls geht es um die Teilbarkeit gewisser Zahlen durch 37 in der aktuellen Schulrunde der Mathematik-Olympiade, die noch bis Oktober läuft. Das gilt es zu beachten.

Aussagen wie "10^n ist nicht durch 37 teilbar" müssen dazu natürlich nicht bewiesen werden, das ist wegen ggT(10^{n},37)=1 ohnehin klar und darf als bekannt vorausgesetzt werden.

Answer 1

Primfaktorzerlegung von 10ⁿ ist 2ⁿ·5ⁿ.

Primfaktorzerlegung von 37 ist 37.

37 kommt in der Primfaktorzerlegung von 10ⁿ nicht vor.

Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist 37 kein Teiler von 10ⁿ.