Ungleichung Beweis Kontrolle

Question

ich habe hier einen Beweis mit dem ich nicht ganz weiterkomme und würde mich über Hilfe freuen.

Zu zeigen ist folgendes: $$10^n \gt 6n^2+n$$ mit der Bedingung $$n \in \mathbb{N}, n=0$$

Hier ist meine Lösung:

Induktionsanfang: $$10^0 \gt 6 \cdot 0^2+0$$

Induktionshypothese: $$ 10^{n+1} \gt 6(n+1)^2+(n+1)$$

Induktionsschritt: $$10^{n+1} \gt 6(n^2+2n+1)+n+1$$ $$= 10^{n+1} \gt 6n^2+12n+6+n+1$$ $$= 10^{n+1} \gt 6n^2 +13n +7$$ $$= 10^n \cdot 10^1 \gt 6n^2 +13n+7$$ $$= (6n^2+n) \cdot 10 \gt 6n^2 +13n+7$$ $$= 60n^2+10n \gt 6n^2+13n +7$$ $$= 54n^2-3n-7 \gt 0$$

Als nächstes wollte ich den Beweis mit der vollständigen Induktion weiterführen aber wenn ich für n=0 einsetze bringt mich das nicht weiter. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Mach den Imduktionsschritt so hier.

Angenommen die Aussage sei für ein beliebiges aber festes n∈ℕ wahr, sodass $$ 10^n>6n^2+n $$ gilt. Dann gilt diese auch für n+1, also für $$10^{n+1}>6(n+1)^2+(n+1)=6n^2+13n+7. $$

Dies zeigt man so:

$$ 10^{n+1}=10\cdot 10^n\stackrel{IV}{>} 10\cdot (6n^2+n)= 60n^2+10n\stackrel{n\geq 1}{>} 6n^2+13n+7$$ Mit dem Induktionsanfang gilt diese Aussage sogar für n≥0.

Comments

Könntest du genauer erläutern wieso es dann auch automatisch für n=0 gilt? Mit dem was ich raus habe gilt dies nämlich nicht für n=0.

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Es gilt auch für n=0, da $$ 10^0=1>0=6\cdot 0^2+0 $$

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Das hab ich ja auch geschrieben aber ich bin zu dem diesem Punkt gekommen:

$$54n^2-3n-7 \gt 0$$ Mein Beweis ist ja noch nicht vollständig und wenn ich die vollständige Induktion nochmal anwende gelange ich zu diesem Punkt: Induktionsanfang: $$54 \cdot0^2-3 \cdot 0-7\gt 0$$ und damit wäre die Induktionsannahme nicht gültig, oder was übersehe ich da?

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$$ 6(n+1)^2>6n^2+13n+7,\forall n\geq 1 $$, was reicht, da der Induktionsanfange mit

$$n=0\qquad  10^0=1>0=6\cdot 0^2+0 $$ wahr ist.