minimaler Abstand einer Primzahlvielfachen zu einer Potenz

Question

Hallo

gegeben ist  p>2∈ℙ.

wie berchnet man n und k, mit n und k ∈ N+ um das minimum von |n*p-2^k| zu erhalten.

Comments

(n,p,k)=?
(1,3,2)=1
(1,5,2)=1
(1,7,3)=1
(3,11,5)=1
...

Answer 1

Beweise den Satz: Der Betrag der Differenz zwischen einer Zweierpotenz und der nächstgelegenen ungeraden Primzahl ist 1 oder 3.

Answer 2

Für eine Primzahl \( p > 2 \) ist mit \( k=p-1 \) und \( n = \frac{2^k -1}{p} \)

$$ n \cdot p - 2^k = -1 $$

Also wird das Betragsminimum mit dieser Wahl stets erreicht. Überlege dir mal warum n eine natürliche Zahl ist. Tipp: Satz von Euler-Fermat.