Komme bei Nr. 2 nicht voran (Gesamtkostenfunktion)

Question

2 Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion \( K \) durch \( K(x)=\frac{1}{2} x^{3}-3 x^{2}+8 x+8 \). Die Kapazitätsgrenze liegt bei 6 Mengeneinheiten (ME).

a) Zeigen Sie, dass \( \mathrm{K} \) keinen Extrempunkt besitzt. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis im
wirtschaftlichen Sinn.
b) Berechnen Sie für einen Verkaufspreis von 8 GE pro ME den maximalen Gewinn.
c) Dem Betrieb gelingt es, die Fixkosten um 2 GE zu senken. Beschreiben Sie die Auswirkungen auf das Gewinnmaximum.
d) Berechnen Sie die Grenzkosten für 5 ME. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

Comments

und wie ist das mit Nummer c) und d) ?

Answer 1

a) K besitzt sowohl einen Hoch- als auch einen Tiefpunkt.

b) G(x)=E(x)-K(x) Hier: G(x)=8x-(\( \frac{1}{2} \)x³-3x²+8x+8)

G'(x)=6x-x². Dann ist x=6 und G(6)=28 GE.

Comments

kann es sein dass sie bei G'= 6x-x hoch zwei einen fehler gemacht haben? bei mir kommt nähmlich G'= 1/3 xhoch 2- 6x raus

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Ich komme auf

\(G(x)=-0,5x^3+3x^2+8\\G'(x)=-1,5x^2+6x\)

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Oder \(-8\) ?

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ja genau, ich habe auch das selbe raus

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Kann mir jetzt bitte irgendwer ein richtiges ergebnis für aufgabe b) sagen?

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\(G(x)=-\tfrac12x^3+3x^2-8\\G^\prime(x)=-\tfrac32x^2+6x\\G^{\prime\prime}(x)=-3x+6\\G^\prime(x)=0\Longrightarrow x=0∨x=4\\G^{\prime\prime}(0)=6\longrightarrow\) rel Min\(\\G^{\prime\prime}(4)=-6\longrightarrow\) rel Max\(\\G(4)=8\longrightarrow\) maximaler Gewinn.

Answer 2

a)
K'(x) = 1.5·x^2 - 6·x + 8 = 0 → Keine reelle Nullstelle

b)
G(x) = 8·x - (1/2·x^3 - 3·x^2 + 8·x + 8) = - 0.5·x^3 + 3·x^2 - 8
G'(x) = 6·x - 1.5·x^2 = 0 → x = 0 ME ∨ x = 4 ME

G(4) = 8 GE

c)
Eine Änderung der Fixkosten um -6 verschiebt das Gewinnmaximum nur um 6 Einheiten nach oben. Das neue Gewinnmaximum liegt dann bei (4 | 14).

d)
K'(5) = 1.5·x^2 - 6·x + 8 = 15.5 GE/ME