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Zur Bestimmung der Fläche zwischen den Graphen von \(f\) und \(g\) benötigst du die Differenzfunktion:$$d(x)\coloneqq f(x)-g(x)=(x-1)^2-(x+1)=x^2-2x+1-x-1$$$$\phantom{d(x):}=x^2-3x=x(x-3)$$Die Differenzfunktion hat die Nullstellen \(x_1=0\) und \(x_2=3\), das heißt, an diesen Stellen schneiden sich die beiden Kurven \(f\) ung \(g\).
Damit können wir sofort Aufgabenteil (b) lösen und die Fläche \(B\) bestimmen, die zwischen den beiden Graphen eingeschlossen wird:$$B=\left|\int\limits_0^3d(x)dx\right|=\left|\int\limits_0^3(x^2-3x)dx\right|=\left|\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_0^3\right|=\left|9-\frac{27}{2}\right|=\frac{9}{2}$$
~plot~ (x-1)^2*(x>=0)*(x<=3) ; (x+1)*(x>=0)*(x<=3) ; x=0 ; x=3 ; {0|1} ; {3|4} ; [[-1|4|-1|5]] ~plot~
Jetzt wenden wir uns dem fummeligeren Aufgabenteil (a) zu. Es soll die Fäche zwischen den beiden Kurven über dem Intervall \([-1;2]\) bestimmt werden. Hier müssen wir beachten, dass sich in diesem Intervall die beiden Graphen an der Stelle \(x_1=0\) kreuzen. Das Integral wechselt dann sein Vorzeichen. Daher müssen wir die Fläche stückweise berechnen. Vom Start des Intervalls bis zum Kreuzungspunkt \([-1;0]\) und dann vom Kreuzungspunkt bis zum Ende des Intervalls \([0;2]\):
$$A=\left|\int\limits_{-1}^0d(x)dx\right|+\left|\int\limits_0^2d(x)dx\right|=\left|\int\limits_{-1}^0(x^2-3x)dx\right|+\left|\int\limits_0^2(x^2-3x)dx\right|$$$$\phantom{A}=\left|\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^0\right|+\left|\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_0^2\right|=\left|\frac{11}{6}\right|+\left|-\frac{10}{3}\right|=\frac{31}{6}$$
~plot~ (x-1)^2*(x>=-1)*(x<=2) ; (x+1)*(x>=-1)*(x<=2) ; x=-1 ; x=2 ; {-1|0} ; {0|1} ; {2|3} ; [[-2|3|-1|5]] ~plot~
