Raum aller stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm vollständig ist.

Question

Aufgabe:

Man Zeige, dass C([a,b]) der ℂ-Vektorraum aller stetigen Funktionen f:[a,b]→ℂ versehen mit der Supremumgnorm |f||:= supx∈[a,b]|f(x)| vollständig ist.

Problem/Ansatz:

Ich denke, dass ich die gleichmäßige Konvergenz zeigen muss für ein beliebige Cauchy-Folge fn. Mir ist aber nicht klar wie ich das ganze angehen soll.

Answer 1

Hallo,

zunächst solltest du zeigen, dass \(\|\cdot\|_{\infty}\) tatsächlich eine Norm ist. Als nächses hast du schon richtig fetsgestellt, muss gezeigt werden, dass jede Cauchyfolge im Raum \((C([a,b]),\|\cdot\|_{\infty})\) konvergiert. Dazu benutzt du einfach die Eigenschaft einer Cauchyfolge und zeigst mittels Dreiecksungleichung der Sup-Norm die Konvergenz von Teilfolgen. Damit ist der Beweis erbracht.