Vollständige Induktion Produktformel

Question

Aufgabe:

Beweis mit vollständiger Induktion das für alle n ∈ ℕ:

\( \prod_{j=1}^{n}{(1+1/(n+j))} \) = 2-(1/(n+1))

Problem/Ansatz:

Im Induktionsschritt, wo man die Produktformel so aufspaltet, dass man die Induktionshypothese verwenden kann, kann ich den Endteil des Produkt nicht finden. Kann mir Jemand helfen, wie man den Endteil für die Aussage n+1 findet?

Answer 1

Hallo Clementine,

Induktionsannahme: $$\prod_{j=1}^{n}1+\frac 1{n+j} = 2-\frac1{n+1}$$Induktionsschritt ist$$\prod_{j=1}^{n+1}1+\frac 1{n+1+j} \quad\quad |\,j=k-1 \\ \\\quad = \prod_{k=2}^{n+2} 1 + \frac 1{n+k} \\\quad = \left( 1 + \frac 1{n+1}\right)^{-1}\cdot \prod_{k=1}^{n+2} \left( 1 + \frac 1{n+k}\right) \\\quad = \frac{n+1}{n+2}\cdot \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac 1{n+k}\right) \cdot \left( 1 + \frac 1{2n+1}\right) \cdot \left( 1 + \frac 1{2n+2}\right) \\\quad = \frac{n+1}{n+2}\cdot \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac 1{n+k}\right) \cdot \frac {2(n+1)}{2n+1} \cdot \frac {2n+3}{2(n+1)} \\\quad =  \frac{n+1}{n+2}\cdot \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac 1{n+k}\right)  \cdot \frac {2n+3}{2n+1} \quad\quad |\,\text{lt. Annahme} \\\quad = \frac{n+1}{n+2}\cdot \left( 2-\frac1{n+1}\right) \cdot \frac {2n+3}{2n+1} \\\quad = \frac{n+1}{n+2}\cdot \frac{2n+1}{n+1}\cdot \frac {2n+3}{2n+1} \\\quad =  \frac {2n+3}{n+2} \\\quad =  \frac {2(n+2)-1}{n+2} \\\quad = 2 - \frac 1{n+2} \\ \quad \text{q.e.d.}$$

Comments

Wie kommt eigentlich auf die Idee die Indexe zu verschieben? Ist das wieder eine Erfahrungssache, oder gibt es einen Nebengedanken den ich da nicht sehe? Denn der restliche Weg ist klar.

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Wie kommt eigentlich auf die Idee die Indexe zu verschieben? Ist das wieder eine Erfahrungssache, ...

Erfahrung hilft natürlich immer. Aber da kann man auch selber drauf kommen. Wenn man die Annahme in den Term einsetzen will, benötigt man einen Nenner der Form \(n + k\) und wenn dort \(n+1 + j\) steht, dann bietet es sich an, die Substitution \(k=1+j\) bzw. \(j=k-1\) zu versuchen.

Tipp: wenn Dir gar nichts einfällt, so setze konkrete Zahlen ein. Beispiel für \(n=3\)$$\prod(n=3) = \frac 54 \cdot \frac 65 \cdot \frac 76 $$Vergiss mal, dass man hier schwer kürzen kann (s. Rolands Antwort), und mache das gleiche für \(n+1\)$$\prod (n=4) =  \frac 65 \cdot \frac 76 \cdot \frac 87 \cdot \frac 98$$ und jetzt suche den oberen Ausdruck im unteren$$\prod (n=4) = \frac 45 \cdot \underbrace{\frac 54 \cdot \frac 65 \cdot \frac 76}_{= \prod(n=3)} \cdot \frac 87 \cdot \frac 98$$dann kann man schon drauf kommen.

Answer 2

\( \prod_{j=1}^{n+1}{(1+1/(n+1+j))} \)

Indexverschiebung:

\( \prod_{j=2}^{n+2}{(1+1/(n+j))} \)

= \( \prod_{j=1}^{n+2}{(1+1/(n+j))} \)  /  ( 1+1/(n+1) )

= \( (1+1/(2n+1)*(1+1/(2n+2)*(\prod_{j=1}^{n}{(1+1/(n+j))} /  ( 1+1/(n+1) )  \)

=\( (1+1/(2n+1)*(1+1/(2n+2)*(2-1/(n+1) )/  ( 1+1/(n+1) )  \)

=( 2n+3)/(n+2)

= ( 2n+4)/(n+2) - 1/(n+2)

= 2- 1 / (n+2) . Bingo !

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Wie kommt eigentlich auf die Idee die Indexe zu verschieben? Ist das wieder eine Erfahrungssache, oder gibt es einen Nebengedanken den ich da nicht sehe? Denn der restliche Weg ist klar.

Answer 3

Ohne vollständige Induktion:

Produkt=

\( \frac{n+2}{n+1} \) ·\( \frac{n+3}{n+2} \) ·\( \frac{n+4}{n+3} \) · ... · \( \frac{2n+1}{2n} \)

nach Kürzen: =\( \frac{2n+1}{n+1} \)

rechte Seite:2 - \( \frac{1}{n+1} \)=\( \frac{2n+1}{n+1} \).