Produktformel mit Induktion beweisen

Question

Hallo, man soll die Produktformel mit Induktion beweisen:

$$ \text{Für alle } n \in \mathbb{N}\text{ gilt:} \prod \limits_{k=1}^{\\n}(1+\frac{1}{n+k}) = 2 - \frac{1}{n+1} $$

Das meiste verstehe ich, mir geht es nur um diesen einen Schritt beim Induktionsschritt für n - 1 für n:
$$ \prod \limits_{k=1}^{\\n}(1+\frac{1}{n+k}) = \prod \limits_{k=1}^{\\n-1}(1+\frac{1}{n+k}) * (1+ \frac{1}{2n}) \newline = (...) $$

Kann mir jemand sagen, wie man auf $$ 1+ \frac{1}{2n} $$ im Induktionsschritt kommt ?
Danke im Voraus

Comments

Weil \(n+n=2n\) gilt.

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Man hat also für k einfach n eingesetzt ?

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Genau. Schau dir mal jeweils den Index oben auf dem \(\Pi\) an.

Answer 1

Aloha :)

$$\prod\limits_{k=1}^{\pink n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)=\underbrace{\prod\limits_{k=1}^{\pink{n-1}}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)}_{k=1,2,3,\ldots,n-1}\cdot\underbrace{\left[\left(1+\frac{1}{n+k}\right)\right]_{\pink{k=n}}}_{k=n}$$$$\phantom{\prod\limits_{k=1}^{\pink n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)}=\underbrace{\prod\limits_{k=1}^{\pink{n-1}}\left(1+\frac{1}{n+\pink k}\right)}_{k=1,2,3,\ldots,n-1}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{n+\pink n}\right)}_{k=n}$$$$\phantom{\prod\limits_{k=1}^{\pink n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)}=\underbrace{\prod\limits_{k=1}^{\pink{n-1}}\left(1+\frac{1}{n+\pink k}\right)}_{k=1,2,3,\ldots,n-1}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{2n}\right)}_{k=n}$$

Answer 2

Hallo

wenn man stattvon 1 bis n nur bis n-1 multipliziert fehlt noch der Faktor mit k=n

Gruß lul