Bedeutet dass ich die Ebene F so als Vektor \begin{pmatrix} 7\\2\\4 \end{pmatrix} darstellen muss, um diesen mit dem …

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Ebene F: 7x+2y+4z=14 Mit den Punkten A(2;2;-1) B(2;-2;1) C(4;1;-4) eines Dreieckes, soll ich die Gleichung der Ebene E in Parameterform angeben.

Problem/Ansatz:

Die Eben E lautet:

E:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\2\\-1 \end{pmatrix} \)+s\( \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix} \)+t\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\-3 \end{pmatrix} \)

Jetzt muss ich angeben, dass die Ebene E und F identisch sind. Bedeutet dass ich die Ebene F so als Vektor \( \begin{pmatrix} 7\\2\\4 \end{pmatrix} \) darstellen muss, um diesen mit dem Ortsvektor der Ebene E berechnen kann? Oder irgendwie anders?

Comments

Du könntest die Parameterdarstellung von E in die Koordinatenform umwandeln.

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Wenn ich die Koordinatenform habe, wie bekomme ich heraus ob Ebene E und F identisch sind?

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Wenn die Koordinatenformen identisch sind, sind es auch die Ebenen.

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Da die Ebene F: 7x+2y+4z=14 lautet und die Koordinatenform der Ebene E:14x+4y+8z-28=0 lautet bedeutet das, dass sie nicht identisch sind?

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Wenn du E noch durch 2 teilst, erhältst du die Koordinatenform von F.

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Macht es einen Unterschied, wenn bei der Ebene F =14 steht und bei der Ebene E ...-14=0 ? Müsste man dann wie bei F mit =14 schreiben?

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Genau, wie bei einer "normalen" Gleichung rechnest du auf beiden Seiten + 14 und schon ist alles gleich.

Answer 1

Hallo

a) du zeigst, dass die 3 Punkte die Koordinatengleichung bestimmen, und eine Ebene ist durch 3 Punkte eindeutig bestimmt,  (das ist das einfachste.)

b) du setzt die x,y,z Koordinate in die Koordinatenform ein und siehst dass sie für alle s,t erfüllt ist.

c) du setzt den Aufpunkt ein und zeigst, dass das Kreuzprodukt der 2 Richtungsvektoren proportional zum Normalenvektor (7,2,4) ist.

Gruß lul