Hallo Merfin,
Umsatz ist das Geld, was ein Geschäft umsetzt. Heißt das, was durch den Verkauf von Waren in der Kasse landet. Verkauft das Geschäft 5 Räder zum Preis von 120,-€, so beträgt der Umsatz 5*120,-€=600,-€. Das ist natürlich nicht der Gewinn, denn es entstehen noch Kosten, die beglichen werden müssen. Bei einer Produktion durch Einkauf der Rohstoffe, Lohn, der gezahlt werden muss, evt. Miete, Kapitalkosten und vieles mehr. Und der Gewinn ist das, was nach Abzug der Kosten vom Umsatz am Ende übrig bleibt:$$G(x) = U(x) - K(x)$$und wenn der Gewinn negativ ist, dann hat die Firma Verlust gemacht.
Der Umsatz (in €) beträgt hier schlicht: $$U(x) = 120 \cdot x$$also Preis pro Fahrrad mal Anzahl Fahrräder. Die Kostenfunktion ist gegeben, das gibt dann einen Gewinn von$$\begin{aligned} G(x) &= U(x) - K(x) \\&= 120x - (0,02 x^{3}-3x^{2}+172x+2400) \\&= -0,02x^3 + 3x^2 - 52x - 2400\end{aligned}$$Der Gewinn in Abhängigkeit der Anzahl der produzierten und verkauften Fahrräder sieht so aus:
~plot~ -0,02x^3 + 3x^2 - 52x - 2400;[[-10|140|-3200|3000]] ~plot~
Offensichtlich macht die Firma Gewinn, ab 50 Fahrrädern pro Tag. Der Gewinn erreicht bei 90 Fahrrädern ein Maximum und bei mehr als 120 Fahrrädern wird wieder Verlust gemacht.
Die Berechnung der Gewinnzone läuft über das Bestimmen der Nullstellen der Funktion \(G(x)\). Da der Graph bereits die (ungefähren) Nullstellen liefern, brauchen wir das nur noch per Rechnung prüfen.$$G(50) = 0, \quad G(120) = 0 \space \checkmark$$(rechne selber nach!)
Das Maximum von \(G(x)\) wird über die erste Ableitung bestimmt. Es ist$$G'(x) = -0,06x^2 + 6x - 52 \to 0 \\\begin{aligned} 0 &= -0,06x^2 + 6x - 52&&|\,\div(-0,06)\\ 0 &= x^2 -100x + \frac{2600}{3} &&|\, \text{pq-Formel}\\ x_{1,2} &= 50 \pm \sqrt{50^2 - \frac{2600}3} \\ &= 50 \pm \frac{70}3 \sqrt 3 \end{aligned}$$Da wir bereits wissen, dass das Maximum zwischen 50 und 120 liegen muss, kommt nur in Frage$$x_{\max} = 50 + \frac{70}3 \sqrt 3 \approx 90$$
Bei 130 Fahrrädern betragen die Kosten$$K(130) = 18.000,-$$Damit die Firma dann keinen Verlust macht, müsste jedes Fahrrad$$P = \frac{18000}{130} = 138,46$$kosten.
