Aloha :)
Du sollst Lösungspunkte \((x,y,z)\in\mathbb R^3\) aus dem 3-dimensionalen Raum \(\mathbb R^3\) bestimmen. Zur Lösung eines solchen Gleichungssystems kannst du Gleichungen mit einer Konstanten multiplizieren und Vielfache einer Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren. Ziel ist es, möglichst einfache Gleichungen daraus zu bauen.
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline 3 & -3 & -6 & -3 &+\text{Zeile 3} \\2 & -2 & -4 & -2 &+\text{Zeile 3}\\-2 & 3 & 1 & 7 &\\\hline 1 & 0 & -5 & 4 & \\0 & 1 & -3 & 5 & \\-2 & 3 & 1 & 7 &+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline 1 & 0 & -5 & 4 & \\0 & 1 & -3 & 5 & \\0 & 3 &-9 & 15 &-3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline 1 & 0 & -5 & 4 & \\0 & 1 & -3 & 5 & \\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\end{array}$$
Wir haben zwei Spalten, die bis auf eine einzige \(1\) nur \(0\)en enthalten. Zudem ist die letzte Gleichung \(0x+0y+0z=0\) für alle Punkte \((x,y,z)\) erfüllt, sodass wir sie nicht mehr zu beachten brauchen. Weiter können wir nicht mehr vereinfachen.
Die erste und zweite Gleichung lauten ausgeschrieben:$$x-5z=4\quad;\quad y-3z=5$$Beide hängen offensichtlich von \(z\) ab, sodass wir sie etwas umformen können:$$x=4+5z\quad;\quad y=5+3z$$Damit können wir nun alle Lösungen des Gleichungssystems angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+5z\\5+3z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}$$
Die Lösungen \((x,y,z)\) liegen also alle auf einer Geraden im \(\mathbb R^3\).
