Zeige das \sqrt{n + 3} = k mit n durch 4 teilbar (n = 4m) kein Element von ℕ sein kann

Question

Aufgabe:

Zeige das $\sqrt{n + 3}$ = k mit n durch 4 teilbar (n = 4m) kein Element von ℕ sein kann.

Problem/Ansatz:

Ich denke, dass hier mit einem Induktionsbeweis gearbeitet werden soll - leider bekomme ich den Beweis bei dieser Aufgabe nicht richtig hin.

Bis jetzt habe ich:

n=4 : $\sqrt{4+3}$ = $\sqrt{7}$ ∉ ℕ
n=8 : $\sqrt{8+3}$ = $\sqrt{11}$ ∉ ℕ

....

n=p : $\sqrt{p+3}$ ∉ ℕ

n=p+4 : $\sqrt{p+4+3}$ = $\sqrt{p+7}$

Bei dem letzten Schritt weiß ich leider nicht, wie zu zeigen ist, dass es nicht in ℕ sein kann.

Ich wäre sehr dankbar für etwas Hilfe!

Answer 1

 $\sqrt{n + 3}=k$

n=4m

Annahme: Es gibt eine natürliche Zahl k

Quadrieren

4m+3=k²

4m+2=k²-1

2(2m+1)=(k+1)(k-1)

k+1 und k-1 sind gerade. Also ist das Produkt auf der rechten Seite durch 4 teilbar.

2m+1 ist allerdings ungerade, sodass das Produkt auf der linken Seite den Faktor 2 nur einmal enthält und nicht durch 4 teilbar ist.

Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

:-)

Comments

Vielen Dank! ^^

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Gerne.

:-)