Bestimmen Sie die Lösung rechnerisch durch Logarithmieren.

Question

Aufgabe:

Gleichungen lösen
7. Bestimmen Sie die Lösung rechnerisch durch Logarithmieren.
a) \( e^{x}=2 \)
d) \( \mathrm{e}^{2 x+1}=0,5 \)
g) \( \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}=0,5 \)
b) \( e^{x}=\pi \)
e) \( e^{x-7}=1 \)
h) \( e^{1,5 x}-2=0 \)
c) \( e^{0,5 x}=3 \)
f) \( e^{-3 x}=5 \)
i) \( e^{\frac{1}{2} x}-5=0 \)
8. Begründen Sie.
a) Die Gleichung \( \mathrm{e}^{x}=-1 \) hat keine Lösung.
b) Für Werte von a zwischen 0 und 1 ist \( \ln (a) \) negativ.
c) Die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=(2 \mathrm{x}-1) \cdot e^{\mathrm{x}} \) hat nur bei \( \mathrm{x}=0,5 \) eine Nullstelle.
d) Die Funktion \( f \) mit \( f(x)=e^{x}+1 \) und die Funktion g mit \( g(x)=-x^{2}+0,5 \) haben keine gemeinsamen Punkte.

Problem/Ansatz:

Könnte jemand diese beiden Aufgaben lösen? Also mit einer verständlichen Rechenweg?

Answer 1

a) \( e^{x}=2 \)  <=> x = ln(2) <=>  x ≈ 0,69

d) \( \mathrm{e}^{2 x+1}=0,5 \) <=> 2x+1 = ln(0,5) <=> x = ( ln(0,5)-1) / 2 ≈-0,85

g) \( \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}=0,5 \)<=>   -2x = ln(0,5) <=>  x ≈ 0,35

etc.

8. Geht wohl am besten mit den Funktionsgraphen:

rot und blau schneiden sich nicht:

a)  ~plot~ e^x;  -1 ~plot~

Answer 2

Hallo,

a) \( e^{x}=2 \) | ln(..)

x ln (e)= ln(2) -->ln(e)=1

x=ln(2)

----------------------------------------------------------------

d) \( \mathrm{e}^{2 x+1}=0,5 \) | ln(..)

(2x+1) ln(e)= ln (0.5)

2x+1 = ln (0.5) =ln (1/2)= ln(1) -ln(2)   ->ln(1)=0

2x+1 = -ln(2) |-1

2x= - ln(2)-1 |:2

x= (- ln(2)-1) /2

---------------------------------------------------------------

g) \( \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}=0,5 \) =1/2

-2x= ln(1) -ln(2)  ---->ln(1)=0

-2x= -ln(2)

x= ln(2)/2

-----------------------------------------------------------------

b) \( e^{x}=\pi \)

x= ln(π)

----------------------------------------------------------------

e) \( e^{x-7}=1 \) |ln(..)

x-7= ln(1) =0

x=7

-----------------------------------------------------------

h) \( e^{1,5 x}-2=0 \) |+2

e^(1.5x)= 2 |ln(..)

1.5x= ln(2)

x= ln(2)/1.5

x= (2 ln(2))/3

-----------------------------------------------------------

c) \( e^{0,5 x}=3 \) |ln(...)

0.5x= ln(3)

x= 2 ln(3)

--------------------------------------------------------

f) \( e^{-3 x}=5 \) |ln(..)

-3x= ln(5)

x=(-ln(5)/3

---------------------------------------------------------

\( e^{\frac{1}{2} x}-5=0 \)

e^(x/2)=5 |ln(..)

x/2= ln(5)

x= 2 ln(5)