Berechnung per Induktion?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass fur jede natürliche Zahl n ≥ 2 gilt:

Problem/Ansatz:

\( \sum \limits_{j=2}^{n} j^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)-1 \)

Soll ich das Per Induktion lösen ?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Behauptung vor dem Induktionsbeweis etwas umformen:

$$\left.\sum\limits_{j=2}^nj^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-1\quad\right|+1$$$$\left.1+\sum\limits_{j=2}^nj^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\quad\right|\text{links ist \(1=1^2\), mit Summe zusammenfassen}$$$$\left.\sum\limits_{j=1}^nj^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\quad\right|\cdot6$$$$\left.6\sum\limits_{j=1}^nj^2=n(n+1)(2n+1)\quad\right.$$Diese Gleichung ist zu der ursprünglichen äquivalent, aber mit weniger Tipparbeit zu beweisen.

1) Verankerung bei \(n=2\):$$6\sum\limits_{j=1}^nj^2=6\sum\limits_{j=1}^2j^2=6(1+4)=(2\cdot3)\cdot5=n(n+1)(2n+1)\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$6\sum\limits_{j=1}^{n+1}j^2=6\left((n+1)^2+\sum\limits_{j=1}^{n}j^2\right)=6(n+1)^2+6\sum\limits_{j=1}^{n}j^2$$Wir setzen nun die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten:$$6\sum\limits_{j=1}^{n+1}j^2=6(n+1)^2+n(n+1)(2n+1)=(n+1)(6n+6)+(n+1)(2n^2+n)$$$$\phantom{6\sum\limits_{j=1}^{n+1}j^2}=(n+1)(6n+6+2n^2+n)=(n+1)(2n^2+7n+6)$$$$\phantom{6\sum\limits_{j=1}^{n+1}j^2}=(n+1)(n+2)(2n+3)=(n+1)(\,(n+1)\,+1)(2(n+1)+1)\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo

ja, es ist etwas leichter wenn du die Summe bei j=1 anfangen lässt und dann 1 abziehst.

Gruß lul