Differentialgleichung Wachstum einer Population

Question

Aufgabe:

Die Wachstumsrate einer Population ist gegeben durch: dN/dt = 500/1+t

bei t=0 ist N(0)= 100

Gesucht ist die Wachstumsfunktion.

Beispiel aus DGL

Problem/Ansatz:

die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum lautet ja: f'(t)= k . f(t)

ich würde mir hier k ausrechnen, aber für k brauche ich ja t, kann ich hier t=1+t nehmen ?

oder liege ich komplett falsch ?

Danke !!

Answer 1

Aloha :)

Die Wachstumsfunktion \(N(t)\) erhalten wir durch Integration:$$\frac{dN}{dt}=\frac{500}{1+t}\implies N(t)=\int\frac{500}{1+t}\,dt=500\ln(1+t)+c$$und die Integrationskonstante \(c\) aus der Startbedingung:$$100\stackrel!=N(0)=500\ln(1+0)+c=c\implies c=100$$Die Wachstumsfunktion lautet also:$$N(t)=500\ln(1+t)+100$$

~plot~ 100*ln(1+x)+100 ; [[0|20|0|450]] ~plot~

Answer 2

dN/dt = 500/1+t
bei t=0 ist N(0)= 100

Dann ist \(N(t) = \int_0^t (500/1+x) \mathrm{d}x + 100\).