Hallo,
könnte mir jemand sagen, ob folgende Lösung bzw. Beweis richtig ist? Oder ob noch etwas fehlt?
Es geht darum zu überprüfen, ob eine Menge ein Unterraum ist.
Die Aufgabe: $$W_1 = \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end {pmatrix}\in \mathbb{R}^3 :\space x + y = z\right\} \subseteq \mathbb{R}^3$$
Lösung:
1. Nullvektor-Test: 0 + 0 = 0
2. Betrachte: w1 + w2
Sei:
w1 = (x1,y1,z1) //vektor
w2 = (x2,y2,z2) //vektor
(x1+x2) + (y1+y2) = (z1 + z2)
Zu zeigen:
(x1 + y1) + (x2 + y2) = (z1 + z2)
Ist das gleiche wie: (x1 + x2) + (y1 + y2) = (z1 + z2)
3. Betrachte λ*w1
λ*x + λ*y = λ*z
Zu zeigen:
x + y = z | *λ
λ*x + λ*y = λ*z
W1 ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation. Also ist W1 ein Untervektorraum.
Text erkannt:
\( W_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}* \\ 2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+Y=z\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3} \)
Nullvelitor-Test: \( 0+0=0 \)
\( \left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(r_{n}+Y_{2}\right)=\left(z_{1}+z_{2}\right) \quad \Leftarrow \) Giet dus ?
zu zaigen:
\( \left(x_{1}+I_{n}\right)+\left(x_{2}+Y_{2}\right)=\left(2_{1}+z_{2}\right) \triangleq\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(Y_{n}+Y_{2}\right)=\left(z_{1}+z_{2}\right) \)
(3) Betrachte \( \lambda \cdot W_{1} \) \( \lambda \cdot x+\lambda \cdot r=\lambda \cdot 2 \quad \ll= \) Giet dus?
Zu zeigen:
\( x+y=z \quad 1 \cdot \lambda \)
\( \lambda x+\lambda y=\lambda z \)
Vielen dank!
