Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst die Augensumme 5 auftritt.

Question

Aufgabe:

Zwei Würfel werden geworfen, bis entweder die Augensumme 5 oder 7 auftritt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst die Augensumme 5 auftritt.

Problem/Ansatz:

Ich habe tatsächlich keinen Ansatz, weil ich nicht weiß, wie man die Wahrscheinlichkeit bei einem potenziell unendlich langen Experiment berechnet werden soll...

Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Zwei Würfel werden geworfen.

Ereignisse:

• \(S_5\): Die Augensumme ist 5.
  
• \(S_7\): Die Augensumme ist 7.
  
• \(S_{5,7} = S_5 \cup S_7\).
  

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P\left(S_5 | S_{5,7}\right)\)

Answer 2

Theoretisch sind die ganzen Fehlersuche unerheblich, denn es geht nur darum, dass die 5 vor der 7 auftritt. Und das ist eine 50/50 Chance.

Das gilt natürlich nur, wenn es sich nicht um herkömmliche Würfel handelt, sondern tatsächlich um spezielle Würfel, bei denen die Augenzahl 7 nicht nur existiert, sondern auch genauso wahrscheinlich wie die 5 ist

Comments

Es geht um den Wurf zweier Würfel und deren Augensumme. Bei zwei Würfeln können Augensummen von 2 bis 12 eintreten. Da ist also sowohl die 5 als auch die 7 dabei.

Answer 3

Man kann das mit einer Markovkette modellieren, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst die Augensumme 5 eintritt:

p = 4/36 + 26/36 * p --> p = 2/5 = 0.4 = 40%

Answer 4

Ich habe tatsächlich keinen Ansatz, weil ich nicht weiß, wie man die Wahrscheinlichkeit bei einem potenziell unendlich langen Experiment berechnet werden soll...

Mit der Wahrscheinlichkeit 4/36=1/9 endet das Spiel in der laufenden Runde mit der Summe 5, mit der Wahrscheinlichkeit 6/36=1/6 mit der Summe 7 und mit der Wahrscheinlichkeit 26/36=13/18 geht es in die nächste Runde. Die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum Spielende mit Summe 5 führen, würde ich dann so berechnen:

$$\dfrac{1}{9}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{13}{18}\right)^n = \dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{13}{18}} = \dfrac{2}{5}.$$ Ich stelle das mal als Vorschlag zur Diskussion.