Windschiefe Ebenen - Beispiel finden

Question

Gib ein konkretes Beispiel für zwei windschiefe Ebenen an, also zweidimensionale, affine Unterräume die sich nicht schneiden. Wie groß muss die Dimension des euklidischen Raumes mindestens sein, damit ein solchen Beispiel existiert?

Kann mir jemand helfen, wie ich so ein Beispiel finden kann? Also die Dimension muss ja mindestens im R^4 sein, oder?

Answer 1

Also die Dimension muss ja mindestens im R⁴ sein, oder? Jawohl, das ist richtig. Entwirf ein System von 4 Komponentengleichungen mit 4 Parametern, das keine Lösung hat und entwickle daraus zwei Ebenengleichungen im R⁴.

Comments

Also die Komponentengleichungen würden so aussehen:

(1) r*0+s*2+t*0+u*0=5

(2) r*0+s*0+t*1+u*0=3

(3) r*0+s*1+t*0+u*0=7

(4) r*1+s*0+t*0+u*0=1

Somit hätte es keine Lösung. Ist das schon mal richtig?

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Aber wie soll ich daraus 2 Ebenengleichungen aufstellen?

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Das ist nicht richtig, denn der Vektor mit dem Parameter u wäre bei dir der Nullvektor. Mit dem Nullvektor als Richtungsvektor ergibt sich keine Ebene.

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(1) r*0+s*2+t*0+u*x=5

(2) r*0+s*0+t*1+u*0=3

(3) r*0+s*1+t*0+u*0=7

(4) r*1+s*0+t*0+u*0=1

Wäre das möglich? Eine andere Idee habe ich leider nicht...

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Versuchs mal hiermit \( \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \)=r· \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)+s· \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)und

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \)= \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\4 \end{pmatrix} \)+t· \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)+u· \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \).

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Dann wäre x=0, y=r, z=0, w=r+s und x=1+t+u, y=2+u, z=1+t, w=4 ?

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Nein, nach dem Gleichsetzen kommen x, y, z und w nicht mehr vor. Die Koordinatengleichungen heißen dann:

r=1+t+u

0=2+u

r=1+t

s=4

Die System hat keine Lösungen.

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Achso, gleichsetzen. Sind das jetzt die 2 Ebenengleichungen, die gesucht sind? oder muss man die daraus jetzt noch aufstellen?

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Nein, ich habe das für dich schon getan.

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