Konvergenz zeigen bzw. widerlegen

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: die Folge (a_n)_n∈ℕ ist konvergent.

a_n = \( \frac{n+(-1)^n n }{n+1} \)

Wie mache ich das am besten? Vielen Dank im voraus. :)

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Folge \((a_n)\) in zwei Teilfogen aufteilen:

$$n\text{ gerade}\quad\implies a_n=\frac{2n}{n+1}=\frac{2n+2-2}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}\to2$$$$n\text{ ungerade}\implies a_n=0$$

Beide Teilfolgen haben einen unterschiedlichen Grenzwert, daher konvergiert die Folge \((a_n)\) nicht.

Comments

Da hätte ich auch selber drauf kommen können^^ besten dank ;)

Answer 2

Für gerade n ist der Zähler gleich 2n. Diese Teilfolge konvergiert gegen 2.

Für ungerade n ist der Zähler gleich Null.

Es gibt also zwei Häufungspunkte.

Die Folge konvergiert nicht.

:-)