Aufgabe:
Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: die Folge (an)n∈ℕ ist konvergent.
an = n+(−1)nnn+1 \frac{n+(-1)^n n }{n+1} n+1n+(−1)nn
Wie mache ich das am besten? Vielen Dank im voraus. :)
Aloha :)
Du kannst die Folge (an)(a_n)(an) in zwei Teilfogen aufteilen:
n gerade ⟹ an=2nn+1=2n+2−2n+1=2−2n+1→2n\text{ gerade}\quad\implies a_n=\frac{2n}{n+1}=\frac{2n+2-2}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}\to2n gerade⟹an=n+12n=n+12n+2−2=2−n+12→2n ungerade ⟹ an=0n\text{ ungerade}\implies a_n=0n ungerade⟹an=0
Beide Teilfolgen haben einen unterschiedlichen Grenzwert, daher konvergiert die Folge (an)(a_n)(an) nicht.
Da hätte ich auch selber drauf kommen können^^ besten dank ;)
Für gerade n ist der Zähler gleich 2n. Diese Teilfolge konvergiert gegen 2.
Für ungerade n ist der Zähler gleich Null.
Es gibt also zwei Häufungspunkte.
Die Folge konvergiert nicht.
:-)
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