Verkettungen für Abbildungen berechnen

Question

Hilfe! Ich habe keine Ansätze!

Wie berechne ich die Verkettungen von f ο g: ℤ → ℤ und g ο f: ℤ → ℤ für die Abbildungen: f, g : ℤ → ℤ, welche als

f(n) := { n + 1, falls n ungerade, n - 1, falls n gerade

g(n) := { n - 1, falls n n ungerade, n +1, falls n gerade

gegeben sind. (n ∈ ℕ)

Answer 1

Aloha :)

$$f(n)=\left\{\begin{array}{ccl}n+1&\text{falls}&\text{\(n\) ungerade}\\n-1&\text{falls}&\text{\(n\) gerade}\end{array}\right.\quad;\quad g(n)=\left\{\begin{array}{ccl}n-1&\text{falls}&\text{\(n\) ungerade}\\n+1&\text{falls}&\text{\(n\) gerade}\end{array}\right.$$

$$n=2k\implies g(n)=2k+1\implies f(g(n))=f(2k+1)=2k+2=n+2$$$$n=2k+1\implies g(n)=2k\implies f(g(n))=f(2k)=2k-1=n-2$$$$\implies (f\circ g)(n)=\left\{\begin{array}{ccl}n-2&\text{falls}&\text{\(n\) ungerade}\\n+2&\text{falls}&\text{\(n\) gerade}\end{array}\right.$$

$$n=2k\implies f(n)=2k-1\implies g(f(n))=g(2k-1)=2k-2=n-2$$$$n=2k+1\implies f(n)=2k+2\implies g(f(n))=g(2k+2)=2k+3=n+2$$$$\implies (g\circ f)(n)=\left\{\begin{array}{ccl}n+2&\text{falls}&\text{\(n\) ungerade}\\n-2&\text{falls}&\text{\(n\) gerade}\end{array}\right.$$

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Dankeschön! :')