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Definition 1. Sei \( M \) eine endliche Menge und \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n>0 \). Dann gilt:
(a) \( |M|=0 \) genau dann, wenn \( M=\emptyset \).
(b) \( |M|=n \) genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung \( f:\{1, \ldots, n\} \rightarrow M \) gibt.
Aufgabe 7. Sei \( M \) eine endliche Menge. Nach Definition 1 gibt es für alle \( a, b \in M \) eine bijektive Abbildung \( \tau_{a, b}: M \backslash\{b\} \rightarrow M \backslash\{a\} . \) Sei nun \( a \in M \) gegeben. Wir definieren die Abbildungen
$$ \alpha: S(M) \rightarrow S(M \backslash\{a\}) \times M, \sigma \mapsto\left(\left.\tau_{a, \sigma(a)} \circ \sigma\right|_{M \backslash\{a\}}, \sigma(a)\right) $$
und
$$ \beta: S(M \backslash\{a\}) \times M \rightarrow S(M),(\gamma, b) \mapsto \gamma_{b} $$
wobei
$$ \gamma_{b}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \tau_{a, b}^{-1} \circ \gamma(x), & \text { falls } x \in M \backslash\{a\} \\ b, & \text { falls } x=a \end{array}\right. $$
(a) Zeigen Sie mittels Lemma 3.11, dass \( \alpha \) und \( \beta \) Bijektionen sind, wobei \( \beta^{-1}=\alpha \).
(b) Folgern Sie mittels Aufgabe 4 , dass gilt:
$$ |S(M)|=|S(M \backslash\{a\})| \cdot|M| $$
(c) Sei nun \( M \) eine beliebige endliche Menge. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:
$$ |S(M)|=|M| ! $$
wobei \( n !=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { falls } n=0, \\ n \cdot(n-1) !, & \text { falls } n>0,\end{array}\right. \) die Fakultät von \( n \in N \) bezeichnet.
Aufgabe:
Sei M eine endliche Menge. Nach Definition 1 gibt es für alle a,b ∈ M eine bijektive Abbildung τa,b: M\{b} → M\{a}. Sei nun a∈M gegeben. Wir definieren die Abbildungen ...
Problem/Ansatz:
Ich komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter, da ich nicht verstehe was diese Funktionen Alpha, Beta, Gamma, Tau und Sigma überhaupt machen sollen.
Würde mich über Hilfe freuen.
Grüße
