Seien \( f(x), g(x) \) in \( [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig,
a) zeigen Sie, dass es gilt
\( \left(\int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right)^{2} \leq\left(\int \limits_{a}^{b} f^{2}(x) d x\right)\left(\int \limits_{a}^{b} g^{2}(x) d x\right) \)
Tipp: man betrachte \( (f(x)-\alpha g(x))^{2}, \alpha \in \mathbb{R} \)
b) Sei \( f(x) \) in \( [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und \( f(x)>0 \). Zeigen Sie, dass es gilt
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \cdot \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} d x \geq(b-a)^{2} \)
