Stetigkeit der Funktion mit Folge

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die Abbildung stetig ist.

f: R^2 -> R, f(x, y) = 1. (xy) / (x^2 + y^2), (x, y) != (0, 0)

                               2. 0, (x, y) = (0, 0)

Definition 1.3.1. Es seien (X, dX), (Y, dY ) metrische Räume. Eine Funktion f : X → Y heißt:
(a) stetig in einem Punkt a ∈ X, falls fur jede Folge (xn)n in X mit lim n→∞ xn = a die
Grenzbeziehung limn→∞ f(xn) = f(a) gilt. Man schreibt kurzer: ¨
limx→a
f(x) = f(a).
(b) stetig auf X, falls f in jedem Punkt a ∈ X stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe überprüft, ob (0, 0) stetig ist mit der Folge xn(1/n, 1/n) = f((0, 0)) = 0.

Als Ergebnis habe ich 1/2 -> f ist nicht in (0, 0) stetig -> Abbildung f ist nicht stetig.

Wäre mein Ansatz so richtig?

Answer 1

Wäre mein Ansatz so richtig? Ja , das Ergebnis auch. Die

Argumentation ist aber m.E. etwas holprig. Besser vielleicht so:

Ich betrachte die Folge  (x_n) _n∈ℕ mit x_n = (1/n, 1/n)

Die hat den Grenzwert (0;0) .

Aber die Folge der Funktionswerte f (1/n, 1/n)

              = ( 1/n * 1/n ) / ( 1/n^2 + 1/n^2) = 1/2

ist konstant und hat somit den Grenzwert 1/2 ≠ f(0,0).

Also ist f nicht stetig in (0,0) , die Abbildung

also insgesamt nicht stetig.