Question

Wie wurde hier die Tangente eingezeichnet?

Ich sehe, dass da 2 Punkte im Graphen I markiert wurden.

Weitere Infos: Für jede reelle Zahl 0k≥ ist durch tk: y = (0,75 -3k^2) *x + 25 eine Tangente an den Graphen von fk im Punkt Pk (-0,5|fk(-0,5)) gegeben.

Answer 1

Es wurde die Tangente an der Stelle x = -0.5 eingezeichnet.

~plot~ x^3-3x;0.25-2.25x ~plot~

Da der Funktionsterm der Tangente gegeben ist, kannst du theoretisch unendlich viele Punkte einzeichnen.

Comments

ja aber wie ist man auf die Punkte (1|-2) und (-0,5|1,3) gekommen? und braucht man für eine tangente nicht 2 punkte? wie soll ich die Tangente nur an der Stelle x= -0,5 einzeichnen?
ich weiß halt nicht, wie die in der lösung auf diese 2 markierten punkte (siehe abbild) gekommen sind

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Da der Funktionsterm der Tangente gegeben ist, kannst du theoretisch unendlich viele Punkte einzeichnen.

Wenn das nicht die Aufgabe ist sondern die Lösung solltest du die Aufgabe zur verfügung stellen.

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"Weitere Infos" ist die Aufgabe und die Abbildung ist auch die Abbildung aus der Aufgabe (nur mit dem Unterschied, dass die Tangente dort nicht eingezeichnet ist, die soll ja ich einzeichnen).

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Aufgabe : Zur Funktionenschar {f_k}  mit f_k(x) = x^3-3k²x sei t_k die Tangente durch (-0,5 | f(-0,5)). Berechne k so, dass der Graph von t_k durch den Tiefpunkt von f_k verläuft.

Das Bild zeigt die Graphen für die Parameterwerte k = 0 , k = 0,75  und k = 1  (letzteres ist gleichzeitig die Lösung der Aufgabe)

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Das Bild, was ich hochgeladen habe, ist die Lösung.
Also nochmal, damit es hoffentlich keine Verständnisprobleme mehr gibt:
Aufgabe: Für jede reelle Zahl 0k≥ ist durch tk: y = (0,75 -3k²) *x + 25 eine Tangente an den Graphen von fk im Punkt Pk (-0,5|fk(-0,5)) gegeben (Nachweis nicht erforderlich!)

(1) Zeichnen Sie die Tangente t1 in die Abbildung ein.

Dann ist da exakt dieselbe obige Abbildung (meine Abbildung) dargestellt, nur mit dem Unterschied, dass die Tangente eben nicht eingezeichnet ist. Und was ich mich halt frage, ist, wie diese Tangente bestimmt worden ist.

Außerdem wurde ich mich, wieso die beiden Punkte (1|-2) und (-0,5|1,3) (siehe meinen ursprünglichen Post und darin die Abbildung) angekreuzt worden (wahrscheinlich um die beiden Punkte zu verbinden, damit die Tangente entsteht - aber woher und vor allem wie wurden diese Punkte ermittelt??)

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Korrigiere deine beiden Fehler : 100 fehlt , es ist 11/8

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Wie genau bist du auf diese 11/8 gekommen und was ist mit 100 gemeint?

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tk(x) =  (0.75 - 3·k^2)·x + 0.25 oder (0.75 - 3·k^2)·x + 25/100

Da verbirgt sich die 100

Ok. Wenn du t1 einzeichnen sollst dann ist das

t1(x) =  (0.75 - 3·1^2)·x + 0.25 = 0.25 - 2.25·x

Damit eine Wertetabelle machen und einzeichnen sollte nicht so schwer sein.

t1(-0.5) = 0.25 - 2.25·(-0.5) = 11/8 = 1.375

t1(1) = 0.25 - 2.25·1 = -2

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Ok, das macht jetzt endlich einen Sinn. Vielen Dank!

Answer 2

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo ist die Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

hier Pk(-0,5/fk(-0,5)) also xo=-0,5

Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Infos

Text erkannt:

Tangente/Normale an \( f(x) \)
Sehr oft wird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion \( f(x) \) gesucht.
xo bexeichinet.
Tangente und Normale uind eine Gerade der Yorm \( y=f(x)=m^{*} x+b \) Formeln aind: "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normalengleichung" \( \quad y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung
Geradengleichung \( y-f(x)=\mathrm{m}^{*} x+b \) und xo ist die Stelle, wo die Tan8ente/sormale 1iegen sol1 segeben ist die Puktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \).

Stelgung "m" an der Stel1e "xo" ist m-f' \( (x o) \) diese ist die 1.te Ableitung der Punktion \( \mathrm{f}(x) \),also \( f^{\prime}(x) \).
ergtbt \( y \mathrm{t}=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und gleichgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x \circ)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x_{0}+b \) ergibt \( b-f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x_{0} \)
a1so \( \underline{y t-f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x \circ=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)} \)
selber Rechenvee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=m^{*} x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / \mathrm{m} 1 \) hier ist \( \mathrm{ml}=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{xo}) \)
efngesetzt \( y n=f_{n}(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b=1 t \quad b-f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x_{0} \)
ergibt \( y n=f_{n}(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \)
Ubungsbeispie:
gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:Die Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Stelle \( x_{0}=2 \) Lösung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleitet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \)
\( f^{\prime}(2)=2^{*} 2=4 \) Werte in die Pormeln eingesetzt
"Tangentengleichung" yt-ft \( (x)=4^{*}(x-2)+4=4^{4} x-8+4=4 * x-4 \)
"Sormaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)