Was ist die 500 Ableitung und wir kann ich veranschaulichen das dies due Ableitung ist

Question

Aufgabe:

Wie kann ich erklären, das dies die Ableitung meiner Funktion ist ?

f(x)=(x+m)•e^x > f’(x)=(x+m+1)•e^x

Was ist die 500 Ableitung dieser Funktion ?
f(x)=(x-200)•e^x

Answer 1

Die Ableitung von

        f(x)=(x+m)•e^x

ist

        f’(x)=(x+m+1)•e^x

wegen Produktregel.

Die 500. Ableitung von

        f(x)=(x+m)•e^x

ist

        f⁽⁵⁰⁰⁾(x)=(x+m+500)•e^x.

Comments

Danke Oswald kannst du mir bitte erklären wie du die 500 Ableitung hinbekommst weil ich versteh nicht warum von x-200 auf einmal x+m+500 kommst

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Und wie kann ich zeigen das die faktorregel gilt

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weil ich versteh nicht warum von x-200 auf einmal x+m+500 kommst

Tut man nicht. Da wurden unterschiedliche Funktionen abgeleitet. Schau mal ob du mit meiner Überarbeiteten Antwort besser zurecht kommst.

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Ups entschuldige Oswald ich habe was falsch formuliert die 500 Ableitung von f(x)=(x-200)•e^x bitte und wie kann ich zeigen das bei der ersten aufgabe die Faktorregel benutzen muss da in meiner Aufgabenstellung Zeige steht

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Zeige mit der Produktregel, dass

(1)        \(\begin{aligned}f(x)&=(x+m)\mathrm{e}^x\\ \implies f'(x)&=(x+m+1)\mathrm{e}^x\end{aligned}\)

gilt.

Zeige dann mit vollständiger Induktion, dass

(2)        \(\begin{aligned}f(x)&=(x+m)\mathrm{e}^x\\ \implies f^{(n)}(x)&=(x+m+n)\mathrm{e}^x\end{aligned}\)

gilt.

Setze dann \(m=-200,n=500\) in (2) ein.

Answer 2

Wie kann ich erklären, das dies die Ableitung meiner Funktion ist ?
f(x)=(x+m)•e^x > f’(x)=(x+m+1)•e^x Mit Anwendung der Produktregel.

Was ist die 500 Ableitung dieser Funktion ?
f(x)=(x-200)•e^x

f '(x)=(x-199)•e^x

f ''(x)=(x-198)•e^x

......

f ⁽²⁰⁰⁾(x)=(x)•e^x

f ⁽²⁰¹⁾(x)=(x+1)•e^x

......

f ⁽⁵⁰⁰⁾(x)=(x+300)•e^x

Comments

Roland kannst du mir sagen wie ich das auch zeigen kann das es die Faktorregel ist ?

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Es ist die Produktregel:

u=x-200  u'=1

v=e^x      v'=e^x

u'·v+u·v'= 1·e^x+(x-200)·e^x

=e^x+x·e^x-200·e^x=x·e^x-199·e^x

Bei jedem Ableiten erhöht sich die Zahl im Ableitungsterm um 1.

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f (201)(x)≠(x-1)•\( e^{x} \)  

f (201)(x)=(x+1)•\( e^{x} \) 

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Danke. Schreibfehler. Jetzt korrigiert.

Answer 3

f(x)=(x+m)•e^x > f’(x)=(x+m+1)•e^x

f(x)=(x+m)•e^x

u(x)=x+m  --> u'(x)=1

v(x)=e^x   → v'(x)=e^x

f'(x)=u'v+uv'

=1*e^x+(x+m)e^x

=(x+m+1)*e^x

Mit jeder weiteren Ableitung wird in der Klammer 1 addiert.

Also: f''(x)=(x+m+2)*e^x

f^{(n)}(x)=(x+m+n)*e^x

Für m=-200 und n=500 erhältst du m+n=-200+500=300.

:-)