Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an! Sei \F) ein Körper. Auf F}^{3} definieren wir die Relation

Question

Sei \( \mathbb{F} \) ein Körper. Auf \( \mathbb{F}^{3} \) definieren wir die Relation
\( (a, b, c) \sim(x, y, z): \Longleftrightarrow \text { Es gibt ein } 0 \neq t \in \mathbb{F}, \text { sodass }(a, b, c)=(t x, t y, t z) \)
Ist \( \sim \) eine Äquivalenzrelation? Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an!

Comments

Hast du schon versucht die 3 erforderlichen Eigenschaften zu überprüfen?

Reflexivität, Symmetrie, Transitivität...

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Nein, leider nicht. WIe macht man das?

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Nein, leider nicht. WIe macht man das?

Indem man die Definitionen verwendet.
Was hast du denn bei der Reflexivität zu prüfen?

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Diese Frage gab es mit fragwürdiger Antwort kürzlich schon mal: https://www.mathelounge.de/1019108/beweisen-sie-dies-oder-geben-sie-ein-gegenbeispiel-an.

Answer 1

Sei \(V=\mathbb{F}^3\) der 3-dimensionale Zeilenvektorraum über \(K=\mathbb{F}\).

Dann bedeutet die Relation \(\sim\):

\(u\sim v\iff u=t\cdot v\) für ein \(t\in K^*\quad (*)\).

Reflexivität:

Sei \(u\in V\) beliebig, dann gilt \(u=1\cdot u\),

also \((*)\) mit \(t=1\in K^*\), folglich \(u\sim u\).

Symmetrie:

Sei für \(u,v\in V:\) \(u\sim v\). Dann gibt es \(t\in K^*\)

mit \(u=t\cdot v\) Multiplikation mit \(s=t^{-1}\) liefert

\(s\cdot u=(t^{-1}\cdot t)\cdot v=1\cdot v=v\),

also \(v\sim u\).

Nun bist du mit der Transitivität dran.