Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an! Sei \F) ein Körper. Auf F}3 definieren wir die Relation

Question

Sei $\mathbb{F}$ ein Körper. Auf $\mathbb{F}^{3}$ definieren wir die Relation
$(a, b, c) \sim(x, y, z): \Longleftrightarrow \text { Es gibt ein } 0 \neq t \in \mathbb{F}, \text { sodass }(a, b, c)=(t x, t y, t z)$
Ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation? Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an!

Comments

Hast du schon versucht die 3 erforderlichen Eigenschaften zu überprüfen?

Reflexivität, Symmetrie, Transitivität...

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Nein, leider nicht. WIe macht man das?

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Nein, leider nicht. WIe macht man das?

Indem man die Definitionen verwendet.
Was hast du denn bei der Reflexivität zu prüfen?

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Diese Frage gab es mit fragwürdiger Antwort kürzlich schon mal: https://www.mathelounge.de/1019108/beweisen-sie-dies-oder-geben-sie-….

Answer 1

Sei $V=\mathbb{F}^3$ der 3-dimensionale Zeilenvektorraum über $K=\mathbb{F}$.

Dann bedeutet die Relation $\sim$:

$u\sim v\iff u=t\cdot v$ für ein $t\in K^*\quad (*)$.

Reflexivität:

Sei $u\in V$ beliebig, dann gilt $u=1\cdot u$,

also $(*)$ mit $t=1\in K^*$, folglich $u\sim u$.

Symmetrie:

Sei für $u,v\in V:$ $u\sim v$. Dann gibt es $t\in K^*$

mit $u=t\cdot v$ Multiplikation mit $s=t^{-1}$ liefert

$s\cdot u=(t^{-1}\cdot t)\cdot v=1\cdot v=v$,

also $v\sim u$.

Nun bist du mit der Transitivität dran.