Beweis ob Halbgruppe, Monoid, Gruppe oder abelsche Gruppe

Question

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe. Würde mich freuen, wenn mir einer helfen könnte. Vielen Dank schon Mal im voraus :)

Answer 1

Wo ist das Problem? Du gehst einfach alle Definitionen durch und schaust, ob von Monoid, Halbgruppe, etc. alle notwendigen Eigenschaften erfüllt sind.

Z.b. checkst du bei der Gruppe, ob sie Assoziativ, ein neutrales Element & ein inverses Element hat. Bei letzterem wird es wahrscheinlich scheitern.

Comments

Also Assoziativ ist es. Das hab ich hinbekommen.

Dann beim neutralen Element hab ich e=0 raus.

Aber ich bin mir beim inversen Element unsicher.

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Weil es kein inverses Element gibt, wie man leicht zeigen kann. Also ist's schon mal keine Gruppe und damit auch keine abelsche Gruppe. Wie siehts mit Halbgruppe bzw. Monoid aus

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Weil es kein inverses Element gibt, wie man leicht zeigen kann

Fast alle Elemente haben ein Inverses.

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Was meinst du? Für die gegebene Verknüpfung hat eigentlich kein Element ein Inverses.

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Es ist doch

$$ a \circ \frac{a}{a-1} = a + \frac{a}{a-1} - a \cdot \frac{a}{a-1} = 0 $$

für \( a \in \mathbb Q \backslash \{1\} \)?