Wie bestimme ich die Gleichung einer Ebene die die von einer Graden senkrecht in einem bestimmten Punkt getroffen wird?

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich eine Gleichung der Ebene, die von der geraden AB Senkrecht im Punkt A geschnitten wird. A(1/2/3) und B(5/-1/1)

Answer 1

Du benutzt das Skalarprodukt: zwei Vektoren sind genau dann sekrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Die Ebene, die du beschreiben sollst besteht aus allen Geraden durch A, die senkrecht zu AB sind. Um also zu enscheiden, ob ein Punkt P auf dieser Ebene liegt, musst du festellen, ob er auf einer Gerade durch A liegt (ja, das tut er: auf der Geraden AP!) und ob diese Gerade senkrecht zu AB ist. Das heißt:

P liegt in der Ebene, genau dann wenn

AP senkrecht zu AB ist.

Die sind senkrecht, genau wenn ihr Skalarprodukt 0 ist:

<AB, AP> = 0.

Schreib jetzt die Koordinaten vom Punkt P aus: P(x|y|z) und rechne daraus den Vektor AP aus. Rechne außerdem den Vektor AB aus. Dann setz das in die Gleichung

<AB, AP> = 0

ein und rechne das Skalarprodukt aus. Schon hast du deine Ebenengleichung.

Answer 2

Aloha :)

Du hast einen Punkt der Ebene \(A(1;2;3)\) und ihren Normalenvektor$$\vec n=\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}5\\-1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$$

Damit kannst du die Koordinatenform der Ebenengleichung angeben:

$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec a\implies\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\implies 4x-3y-2z=-8\implies$$$$E\colon4x-3y-2z=-8$$

Comments

hier noch das Bild zur Aufgabe (klick drauf)

die Koordinaten jedes Punktes in der Ebene (grün) erfüllen die Ebenengleichung.

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Die Erklärung dass der Richtungsvektor  der geraden normalen Vektor ist der Ebene hat mir schon sehr viel weitergeholfen Die Grafik hat nochmal geholfen dass ich mir das besser vorstellen konnte.

Wie bestimme ich denn die Gleichung einer geraden G welche die ebene senkrecht schneidet, würde es reichen einfach den x Wert des ortsvektor von AB zu ändern ?

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Diese Gerade hätte z.b. die Gleichung:

$$g\colon\vec a+s\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$$