Ergebnis der Summe im Unendlichen gesucht.

Question

Ich suche das Ergebnis dieser Summe:

\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{2 n+1}}{3^{n}} \)

Laut Wolfram Alpha geht es gegen unendlich. Kann mir bitte jemand den Rechenschritt zeigen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%282%5E%282n%2B1%29%2F3%5En%29+from+2+to+infinite

Answer 1

Teilsummen bilden:

(2^2)^n/3^n ) = (4/3)^n geht gg. unendlich

1/3^n hat den Summenwert (geometr. Reihe): (1/3)^2/(1-1/3) = 1/6

oo+1/6 = oo

Comments

Wann muss ich den Summenwert der geo. Reihe anwenden.

Also warum machst du das bei 1/3^n aber nicht bei (4/3)^n ?

Answer 2

\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{2 n+1}}{3^{n}} \)

Betrachte nur die Summanden

 \(  \frac{2^{2 n+1}}{3^{n}} \geq   \frac{2^{2 n}}{3^{n}}  =   \frac{4^{n}}{3^{n}}  = (  \frac{4}{3} )^n \)

Also ist die geometrische Reihe mit q = 4/3 eine divergente ( wegen q>1 ) Minorante.

Answer 3

\( \frac{2^{2n+1}}{3^n} \)=\( \frac{2^{2n}·2^1}{3^n} \)=\( \frac{4^n·2}{3^n} \)=  (\( \frac{4}{3} \))ⁿ·2.

Die n-te Potenz eines Bruches >1 geht für n→∞ allein schon gegen  ∞. Erst recht die Summe solcher Potenzen.

Comments

Danke. Das hat sehr geholfen.