Sei (M, d) ein metrischer Raum. Beweisen oder widerlegen Sie:

Question

Aufgabe :

Sei \( (M, d) \) ein metrischer Raum. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Seien \( X \subseteq M \) abgeschlossen und \( Y \subseteq M \) offen. Dann ist \( X \backslash Y \) abgeschlossen.
(b) Sei \( M=\mathbb{R}^{n} \) für ein \( n \in \mathbb{N} \). Dann ist durch \( \|x\|:=d(x, 0) \) eine Norm auf \( M \) gegeben.
(c) Seien \( X \subseteq M \) abgeschlossen und \( f: M \rightarrow M \) stetig. Dann ist \( f(X) \subseteq M \) offen oder abgeschlossen.

Bitte helft mir, und wenn es geht bitte ausführlich erklären sodass ich es selbst verstehe?

Answer 1

Für zwei Teilmengen X,Y von M gilt immer

X\Y = X ∩ (M\Y)

und das ist als Durchschnitt zweier abgeschlossener

Mengen abgeschlossen.  q.e.d.

Comments

Danke aber ich brauche einen Beweis dafür

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Dafür ?

X\Y = X ∩ (M\Y)

oder für :

Durchschnitt zweier abgeschlossener

Mengen ist abgeschlossen.