Zeigen Sie, dass K[x] unendlich viele irreduzible Polynome enthält.

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass K[x] unendlich viele irreduzible Polynome enthält.

[Hinweis: Lesen Sie den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.]

Answer 1

Wenn p1(x), ...., pn(x) die endlich vielen irreduziblen Polynome wären, dann bilden wir das Polynom

P(x) = p1(x) * .... * pn(x) + 1

Es kann nach Voraussetzung nicht irreduzibel sein, muss also in ein Produkt irreduzibler Faktoren Q1(x) * .... * Qm(x) zerfallen.

Bis auf skalare Faktoren aus k müssen diese Qi(x) unter den pi(x) vorkommen, sei OBdA Q1(x) = c p1(x).

Dann müsste p1(x) in der 1 aufgehen, was ein Widerspruch ist.