Text erkannt:
Sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung zwischen zwei Mengen. Wir betrachten die Relation \( \sim_{f} \) auf \( X \), die durch
$$ x_{1} \sim_{f} x_{2}: \Leftrightarrow\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) $$
definiert ist.
$$ 3 $$
(a) Zeige, dass \( \sim f \) eine Ăquivalenzrelation ist.
(b) Beschreibe die Äquivalenzklassen in den folgenden Fällen:
i. \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} \)
ii. \( f \) ist konstant;
iii. \( f \) ist injektiv.
(c) Zeige, dass die Äquivalenzklassen bezüglich \( \sim_{f} \) genau die Fasern von \( f \) bilden, das heißt für jedes \( x \in X \) gilt
$$ [x]=f^{-1}(\{f(x)\}) $$
(d) Gib eine Bijektion
$$ X / \sim_{f} \longrightarrow f(X) $$
zwischen der Menge \( X / \sim_{f} \) der Ăquivalenzklassen und dem Bild von \( f \) an.
kann mir jemand bitte, die lösung dieser Aufgabe zeigen.
Beste gRüße
Text erkannt:
Sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung zwischen zwei Mengen. Wir betrachten die Relation \( \sim_{f} \) auf \( X \), die durch
$$ x_{1} \sim_{f} x_{2}: \Leftrightarrow\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) $$
definiert ist.
$$ 3 $$
(a) Zeige, dass \( \sim f \) eine Ăquivalenzrelation ist.
(b) Beschreibe die Äquivalenzklassen in den folgenden Fällen:
i. \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} \)
ii. \( f \) ist konstant;
iii. \( f \) ist injektiv.
(c) Zeige, dass die Äquivalenzklassen bezüglich \( \sim_{f} \) genau die Fasern von \( f \) bilden, das heißt für jedes \( x \in X \) gilt
$$ [x]=f^{-1}(\{f(x)\}) $$
(d) Gib eine Bijektion
$$ X / \sim_{f} \longrightarrow f(X) $$
zwischen der Menge \( X / \sim_{f} \) der Ăquivalenzklassen und dem Bild von \( f \) an.
